Оглавление:
Предел функции в точке
Пусть даны два непустых множества 
и 
. Если каждому элементу 
ставится в соответствие один и только одни элемент 
, то 
называется функцией 
аргумента 
. Это записывается в виде: 
или , .
Пусть функция определена на некотором числовом множестве 
. Точка 
является предельной точкой этого множества, т. е. в любой малой окрестности точки содержатся 
, отличные от 
. Точка может принадлежать множеству , а может и не принадлежать, т. е. функция может быть и не определена в точке .
Функция 
имеет предел 
(конечный или бесконечный) при 
(в предельной точке ), если для любой стремящейся к последовательности значений аргумента 
, входящей в область определения функции, но не равных а, соответствующая последовательность значений функции 
всегда стремится к . 
.
Число называется пределом функции в точке 
, если для любого сколь угодно малого 
, существует такое 
, что при всех удовлетворяет условию 
следует неравенство 
. Этот факт принято записывать так: 
.
Свойства пределов
- Функция называется бесконечно малой при , если
. - Функция называется бесконечно большой при , если имеет место одно из равенств:
- Функция — бесконечно мала при , если — мала.
- Если функции
и 
бесконечно малы при , то 
тоже бесконечно малы при . - Если бесконечно мала, a
ограничена, то произведение 
— бесконечно малая величина. - Если имеет конечный предел, а — бесконечно велика, то сумма их — бесконечно велика, т. е.
, а 
. - Если
, a 
, причем 
в окрестности точки , то 
. - Произведение двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая
. - Если
, то 
— бесконечно малая и 
. - Если
, то — бесконечно большая и 
.
Правила предельного перехода
1. Если 
, а 
, то 
2. Если , и , то 
3. Если , а , 
, то 
.
4. Предел целой рациональной функции.
Если 
, то 
, т. е. при отыскании предела целой рациональной функции можно в выражении функции заменить аргумент его предельным значением. Если
, то
5. При постоянном показателе степени можно переходить к пределу в основании степени при условии, что предел основания степени существует, т. е. 
.
6. Если существует 
и 
, то
Задача №36.
Найти 
.
Решение:
{подставим значение 
}
Задача №37.
Найти 
.
Решение:
При 
знаменатель равен 0. Следовательно, теорему о пределе дроби применить нельзя. Но так как не входит в область определения функции и 
, то разделим числитель и знаменатель на .
Правило. Для того, чтобы определить предел дробнорациональной функции в случае, когда числитель и знаменатель дроби имеют пределы равные 0, надо числитель и знаменатель дроби разделить на 
перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель равны 0, то надо повторить деление еще раз.
Задача №38.
Найти 
.
Решение:
Подставляя в данное выражение вместо значение -3, имеем неопределенность 
. Числитель и знаменатель дроби раз-делим на разность 
:
Делим еще раз числитель и знаменатель на 
:
Задача №39.
Найти 
.
Решение:
Имеем неопределенность 
. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень дроби 
.
Задача №40.
Найти 
.
Решение:
Так как имеем неопределенность , то теорему о пределе частного применить нельзя. Данное выражение преобразуем, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т. е. на 
, получим
Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя и знаменателя дроби равен 0, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или, наоборот, после этого сделать необходимые упрощения и перейти к пределу.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Числовые последовательности задачи с решением |
| Предел числовой последовательности задачи с решением |
| Первый замечательный предел задача с решением |
| Второй замечательный предел задача с решением |
