Оглавление:
Кривые линии второго порядка
Общее уравнение кривых второго порядка имеет вид: 
,
где 
.
К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Окружность
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки — центра окружности.
Утверждение. Окружность является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид:
где 
и 
— координаты центра окружности; 
— радиус окружности.
Доказательство. Рассмотрим окружность с заданными параметрами в системе координат на плоскости. Возьмем произвольную точку этой окружности 
.
По формуле расстояния между двумя точками имеем:
Возведем обе части уравнения в квадрат и получим
— уравнение окружности.
Задача №24.
Показать, что уравнение 
является окружностью. Найти ее центр и радиус.
Решение:
Заданное уравнение приведем к виду .
Сгруппируем члены, содержащие только 
и только 
следующим образом:
Допишем теперь до квадрата разности и суммы:
Кривая является окружностью с центром 
(2; -1) и радиусом 
.
Эллипс
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 
.
Утверждение. Эллипс является кривой второго порядка, и каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где и — полуоси эллипса.
Доказательство. Пусть 
и 
— некоторые фиксированные точки плоскости, являющиеся фокусами эллипса и пусть точка — произвольная точка данного эллипса. Расположим систему координат так, чтобы ось 
проходила через точки и , а начало координат делило бы отрезок 
пополам.
Предположим, что расстояние между фокусами равно 
, тогда 
и пусть 
. Из определения эллипса имеем 
. Но по формуле расстояния между двумя точками
Получаем:
или
Если 
, то 
Если 
, то 
Число называется большой полуосью эллипса, число — малой полуосью эллипса, — фокусы. Между , и 
существует соотношение 
.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение 
. Ясно, что 
. Если 
, то форма эллипса будет стремиться к форме отрезка 
. Если 
, то форма эллипса будет стремиться к форме окружности.
Если 
, то эллипс вытянут вдоль оси 
, большой полуосью будет , а малой — , фокусы лежат на оси и 
.
Задача №25.
Найти координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет, если известно уравнение эллипса:
Решение:
Уравнение имеет канонический вид и 
.
Найдем 
. 
или 
, значит
Задача №26.
Показать, что уравнение 
является уравнением эллипса. Найти оси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду:
— каноническое уравнение данного эллипса.
— большая полуось; 
— малая полуось. Найдем координаты фокусов. Так как 
, то
Эксцентриситет 
Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
или
Утверждение. Гипербола является кривой второго порядка, и ее каноническое уравнение имеет вид: 
. Число называется действительной полуосью, число называется мнимой полуосью и 
.
Доказательство. Пусть — произвольная точка гиперболы. Пусть 
и 
. Очевидно, что 
. По формуле расстояний между двумя точками получим:
Положим . Подставим предыдущие равенства в (*).
Если , то 
и 
— точки пересечения гиперболы с осью . Очевидно, что точек пересечения с осью нет.
Эксцентриситетом гиперболы называют отношение 
. Эта величина характеризует форму гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты 
.
Задача №27.
Составить каноническое уравнение гиперболы, если 
.
Решение:
Так как , то 
. можем найти из соотношения . Для этого найдем из равенства .
, значит 
— уравнение данной гиперболы.
Задача №28.
Показать, что уравнение 
является уравнением гиперболы. Найти оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот.
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду:
или 
.
— каноническое уравнение данной гиперболы.
— действительная полуось; 
— мнимая полуось.
Найдем координаты фокуса. 
или 
.
Значит 
— фокусы гиперболы.
Эксцентриситет 
Асимптоты имеют следующие уравнения: 
Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которой одинаково удалена от данной точки 
, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.
Утверждение. Парабола является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид: 
, где 
— расстояние от фокуса до директрисы.
Доказательство. Построим систему координат так, чтобы ось проходила через точку перпендикулярно директрисе 
, а начало координат делило расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Предположим расстояние 
, тогда точка имеет координаты 
, а уравнение директрисы 
. Пусть точка 
принадлежит параболе, а точка 
— ее проекция на директрису, тогда по определению расстояние 
. Но 
и 
. Таким образом,
— каноническое уравнение параболы.
Если , то , таким образом, парабола проходит через начало координат. Функция симметрична относительно оси .
Если 
, то ветви параболы направлены вправо, если 
, то — влево.
Задача №29.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы следующей параболы 
.
Решение:
Запишем уравнение следующим образом:
, следовательно, 
.
— уравнение директрисы.
Координаты фокуса: 
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
