Оглавление:
Решение задачи на треугольник
Задача №18.
Даны координаты вершин 
: 
(1; 1), 
(7; 4), 
(4; 5). Найти: 1) длину стороны 
; 2) уравнение стороны ; 3) уравнение медианы 
; 4) внутренний угол ; 5) координаты точки пересечения высот. Сделать чертеж.
Решение:
1) Длину стороны будем вычислять по формуле:
2) уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
Подставив координаты точек (1; 1) и (4; 5) в уравнение, получим:
— уравнение стороны ; угловой коэффициент 
;
3) так как медиана делит сторону 
пополам, то координаты точки 
найдем по формуле:
Значит, 
(4; 2,5).
Уравнение медианы запишем в виде:
или
— уравнение медианы ;
4) внутренний угол 
будем вычислять по формуле:
где 
— угловой коэффициент стороны ; 
— угловой коэффициент стороны . Угловой коэффициент будем вычислять по формуле:
, где 
и 
— координаты точек, через которые проходит прямая. Угловой коэффициент стороны : 
, а стороны : 
. Подставив эти данные в формулу, имеем: 
, 
;
5) чтобы найти координаты точки пересечения всех высот треугольника, надо знать их уравнения. Так как три высоты пересекаются в одной точке, то достаточно найти уравнение двух высот, решить систему и найти координаты точки их пересечения.
Пусть 
. Так как 
, то из условия перпендикулярности прямых имеем: 
.
Высота 
проходит через точку (Т; 4) и имеет угловой коэффициент 
. Напишем уравнение высоты в виде уравнения пучка прямых 
.
Имеем: 
— уравнение .
Аналогично найдем уравнение высоты 
.
Пусть 
. Так как 
, то 
.
Подставляя в координаты точки (4; 5) и 
, имеем:
— уравнение высоты .
Координаты точки пересечения высот 
находим, решая систему двух уравнений:
или 
т. е. точка (3; 7) является точкой пересечения высот .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Угол между прямыми задача с решением |
| Расстояние от точки до прямой задача с решением |
| Векторы и операции над ними задачи с решением |
| Плоскость и прямая в пространстве задача с решением |
