Оглавление:
Прямая на плоскости
Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение вида 
, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии.
Прямую линию на плоскости относительно системы декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнения.
Углом между прямой и положительным направлением оси называют угол, который отсчитывается от оси 
к прямой против часовой стрелки.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая задана на плоскости двумя параметрами: углом наклона, т. е. углом, который образует эта прямая с положительным направлением оси и числом 
, равным расстоянию между точкой пересечения этой прямой с осью 
и началом координат. Требуется написать уравнение этой прямой. Пусть 
— произвольная точка, взятая на этой прямой.
Рассмотрим 
. Ясно, что 
. Имеем
, 
. Обозначим: 
— угловой коэффициент данной прямой. Подставляя три последние равенства в (*), получим:
где 
— уравнение прямой с данным угловым коэффициентом 
; — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат . При 
, 
— прямая, проходящая через начало координат.
2. Общее уравнение прямой 
, 
:
а) если 
, то 
. Прямая проходит через начало координат, т. е. 
, 
;
б) если 
, 
, 
. Прямая параллельна оси ;
в) если 
, то 
, 
. Прямая параллельна оси ;
г) и , 
или . Это уравнение оси ;
д) и , 
или . Это уравнение оси .
3. Уравнение прямой в отрезках на осях 
.
Общее уравнение прямой преобразуем следующим образом: 
. Обозначим: 
— величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ; 
— величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .
4. Уравнение пучка прямых 
.
Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых, проходящих через данную точку.
Пусть в системе координат на плоскости дана точка 
. Проведем через эту точку произвольную прямую и напишем ее уравнение. Пусть — произвольная точка на прямой, а 
—угол наклона. Так как 
, то — уравнение пучка прямых, проходящих через точку 
.
5. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть даны две различные точки 
и 
. Через эти точки проходит единственная прямая. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки, определяется формулой 
. Прямая проходит через точку 
значит уравнение пучка прямых будет: 
или 
. Отсюда — уравнение прямой, проходящей через две точки.
Задача №15.
Даны две точки 
(2; 4), 
(-1; -2). Написать уравнение прямой, проходящей через и , сделать чертеж.
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
.
Подставим координаты точек и в данное уравнение:
или 
,
— уравнение прямой, проходящей через точки и . В этом уравнении , значит прямая проходит через начало координат.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
