Оглавление:
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
где 
— заданные коэффициенты. Рациональная дробь называется правильной, если 
и неправильной, если 
.
Интегрирование простейших рациональных дробей. Различают 4 типа простейших рациональных дробей:
- Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа выполняется по формуле:
Интегрирование простейшей рациональной дроби II типа выполняется по формуле:
Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа
уже было описано в предыдущем разделе.
- Интегрирование простейшей рациональной дроби IV типа
описано в рекомендуемой литературе (см. соответствующие разделы в |1, 3, 6]).
Заметим, что достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, так как любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена 
и правильной дроби, используя алгоритм деления многочленов «уголком». Полученный при этом интеграл 
вычисляется методом разложения.
Чтобы вычислить интеграл от правильной рациональной дроби подынтегральную функцию нужно представить в виде простейших рациональных дробей и проинтегрировать по отдельности.
Для этого знаменатель дроби должен быть представлен в виде произведения линейных и (или) квадратичных множителей, например:
где 
— корни многочлена, 
— известные действительные числа, трехчлен 
не имеет действительных корней, а 
Тогда дробь
представляется в виде суммы простейших дробей:
где 
— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к 
.
Пример:
Найти неопределенный интеграл методом разложения рациональной дроби на простейшие
► Для интегрирования правильной рациональной дроби выполним вначале ее разложение на простейшие методом неопределенных коэффициентов. С учетом множителей, стоящих в знаменателе исходной дроби, ее разложение будет содержать простейшие дроби I и III типов:
Для нахождения неопределенных коэффициентов выполним сложение простейших дробей и проведем группировку полученного числителя по степеням переменной 
:
Из равенства заданной и полученной дробей с одинаковыми знаменателями следует равенство их числителей:
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , составим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов 
и 
:
Решив полученную систему, найдем значения неопределенных коэффициентов:
Тогда искомое разложение примет вид
Используя полученное разложение, исходный интеграл может быть записан в виде суммы интегралов от простейших рациональных дробей
Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа легко выполняется после замены переменной 
:
Для интегрирования простейшей рациональной дроби III типа запишем интеграл в виде суммы двух интегралов:
Второе слагаемое представляет собой табличный интеграл (см. приложение В.12)
а первое слагаемое легко приводится к табличному виду с помощью замены переменной 
:
Объединяя полученные результаты, искомый интеграл можно записать в виде:
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Основные методы интегрирования в математике |
| Интегрирование некоторых классов функций в математике |
| Интегрирование иррациональных функций в математике |
| Понятие определенного интеграла в математике |
