Оглавление:
Примеры с решениями
Пример №323.
Изобразить на координатной плоскости 
фигуру 
, заданную системой неравенств, и найти площадь 
этой фигуры.
Решение:
а) Неравенство 
задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 27.1), а неравенство 
— множество точек, расположенных выше прямой 
Эта прямая пересекает окружность в точках 
и
а фигура представляет собой сегмент (рис. 27.1). Искомая площадь равна разности между площадью 
четверти круга и площадью 
треугольника 
Так как 
то 
б) Фигура — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке 
и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке 
и радиусом 1 (рис. 27.2). Значит, площадь фигуры равна 
Пример №324.
Найти площадь фигуры 
, которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Неравенство (1) определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке и радиусом 
(рис. 27.3).
Решив неравенство (2), получим 
Поэтому неравенство (2) задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми 
и 
(включая и точки этих прямых).
Наконец, неравенству (3) удовлетворяют точки множества 
, которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми 
и 
(включая и точки этих прямых), так как в точке 
принадлежащей множеству , левая часть неравенства (3) положительна. Множество заштриховано на рис. 27.3, а указанные прямые обозначены 
и 
.
Прямая пересекается с прямыми 
и 
в точках 
и 
, а прямая пересекается с теми же прямыми в точках 
Далее, прямая касается окружности 
так как система уравнений
имеет единственное решение 
наконец, прямая проходит через центр этой окружности.
Итак, фигура — это трапеция 
из которой удален полукруг радиуса с центром в точке 
. Искомая площадь
где 
Ответ.
Пример №325.
На координатной плоскости рассматривается фигура , состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразить фигуру и найти ее площадь.
Решение:
Неравенство (5), равносильное неравенству
является верным в тех и только в тех точках плоскости , которые лежат вне круга радиуса 12 с центром 
и внутри круга радиуса 25 с центром в точке (рис. 27.4). Неравенство (4) имеет смысл, если
т. е. для точек I и III квадрантов. Считая условие (6) выполненным, рассмотрим два возможных случая:
1) Если
то неравенство (4) является верным. Система неравенств (7) задает множество точек I и III квадрантов, лежащих ниже прямой 
2) Если
то неравенство (4) равносильно каждому из неравенств
Условиями (8), (9) определяется множество тех точек I квадранта, которые заключены между прямыми 
и
и точек III квадранта, которые заключены между прямыми 
и 
Заметим, что прямая 
имеет единственную общую точку с окружностью 
и, следовательно, касается этой окружности. Площадь фигуры равна 
где 
—сумма площадей двух секторов (им соответствуют центральные углы 
и 
), a 
— площадь полукруга радиуса 12.
Ответ.
Пример №326.
Найти площадь фигуры , которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Область определения неравенства (10), а значит, и системы (10), (11) задается условием 
т. е.
Неравенство (12) определяет область, внешнюю по отношению к кругу с центром в начале координат и радиусом 1 (включая границу круга, рис. 27.5).
Возможны два случая: 
1) Если 
т. е.
то неравенство (10) является верным на множестве 
2) Если 
т. е.
то неравенство (10) равносильно каждому из неравенств
Прямые 
и 
заданные соответственно уравнениями
проходят через точку 
Прямая касается окружности 
в точке 
так как система уравнений
имеет единственное решение 
Прямая I2, симметричная прямой относительно оси 
, касается этой же окружности в точке 
В точке 
левая часть неравенства (15) положительна и поэтому указанное неравенство справедливо в двух вертикальных углах с вершиной в точке 
, содержащих ось 
.
Рассмотрим неравенство (11). Уравнение
задает два луча, выходящие из точки 
и пересекающиеся прямые и в точках 
и 
Неравенству (11) удовлетворяют точки, находящиеся внутри и на границе угла 
Итак, множеством точек, удовлетворяющих системе неравенств (10), (11) является фигура 
, выделенная штриховкой на рис. 27.5. Ее граница состоит из отрезков 
и дуги 
окружности 
Площадь фигуры равна
где —площадь треугольника 
— площадь треугольника
— площадь сектора 
Здесь
(так как 
),
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
