Оглавление:
Логарифмические неравенства с переменными основаниями
Решение логарифмических неравенств с переменными основаниями основано на свойствах логарифмической функции (§ 24, п. 1). Рассмотрим неравенство
Если верно неравенство (1), то либо (рис. 24.1)
либо (рис. 24.2)
Обратно, из (2) и (3) следует (1), т. е. неравенство (1) равносильно совокупности неравенств (2) и (3). Отсюда следует, что неравенство
равносильно совокупности двух систем неравентсв
Примеры с решениями
Пример №296.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (7) — это неравенство вида (4), в котором 
Поэтому неравенство (7) равносильно совокупности систем вида (5) и (6), которые запишутся так:
Система (8) равносильна системе
откуда находим
Система (9) равносильна системе
откуда следует, что 
так как 
Ответ. 
Заметим, что из (2) следует, что 
и поэтому
Аналогично, из (3) следует (10). Обратно, если 
и выполняется условие (10), то либо справедливы неравенства (2), либо являются верными неравенства (3). Таким образом, неравенство (1) равносильно системе неравенств
Отсюда следует, что неравенство (4) равносильно системе неравенств
Пример №297.
Решить неравенство
Решение:
Система (11) для неравенства (12) равносильна каждой из следующих систем
откуда следует, что 
Ответ. 
Замечание. Метод сведения неравенства (4) к равносильной ему системе (11), использованный в примере 2, часто оказывается более эффективным, чем метод замены этого неравенства на равносильную ему совокупность неравенств (5), (6) (см. пример 1).
Обращаясь к неравенству
отметим, что неравенство 
является верным при 
и 
см. рис. 24.2), а также при 
и 
(см. рис. 24.1). Отсюда следует, что неравенство (13) равносильно совокупности двух систем неравенств
Как и для неравенства (4), совокупность систем (14) и (15) можно заменить следующей системой неравенств
которая равносильна неравенству (13).
Пример №298.
Решить неравенство
Решение:
Для неравенства (17) равносильная ему система (16) имеет вид
Система (18) равносильна следующей
Так как 
то множество решении системы (19) состоит из двух промежутков: 
Ответ.
Рассмотрим неравенство
Это неравенство равносильно неравенству
при условии, что 
(если 
или 
то неравенство (20) теряет смысл).
Для получения системы неравенств, равносильной неравенству (20), нужно в системе (16) добавить условие 
и заменить 
на
В результате имеем систему неравенств
равносильную неравенству (20).
Замечание. Нестрогое неравенство
равносильно системе неравенств, которая получается из системы (21) заменой последнего ее неравенства на неравенство
с добавлением условия 
Пример №299.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (22) равносильно неравенству:
Для этого неравенства равносильная ему система неравенств (21), с учетом замечания 2, имеет вид
Эта система равносильна системе я: < 3,
Так как уравнение 
имеет корни 
и выполняются неравенства 
то множество решений системы (23) — совокупность двух промежутков 
и 
Ответ.
Пример №300.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно неравенству
которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств :
Чтобы решить системы неравенств (24) и (25), построим графики функций 
и 
(рис. 24.7).
Эти графики пересекаются в точках 
и 
, абсциссы 
и 
которых являются корнями соответственно уравнений 
и 
откуда находим 
1) Если 
то график функции 
лежит выше графика функции 
Поэтому система (24) не имеет решений.
2) Если 
то график функции 
лежит выше графика функции 
на интервалах 
и 
Поэтому множество решений системы (25) — объединение интервалов 
Ответ. 
Пример №301.
Решить неравенство
Решение:
Полагая 
и используя формулу
запишем неравенство (26) в виде
откуда следует, что либо 
либо 
1) Пусть т. е.
При 
неравенства (26) и (27) теряют смысл, а при 
неравенство (27) равносильно неравенству
Если 
, то неравенство (28) принимает вид 
откуда следует, что 
Таким образом, все положительные значения 
являются решениями неравенства (28) и исходного неравенства (26).
Если 
, то из (28) получаем 
откуда 
Значит, решениями неравенства (28), а также неравенства (26) являются все значения из интервала 
2) Пусть 
т. е.
Неравенство (29) равносильно неравенству
Если 
, то неравенство (30) примет вид
Неравенство (31) не имеет решений, так как 
при . Если 
, то неравенство (30) записывается в виде
Неравенство 
равносильно неравенству
а неравенство 
равносильно каждому из неравенств
Решив неравенство (34) при условии (33), получим 
Ответ. 
Пример №302.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (35) равносильно неравенству
а неравенство (36) равносильно совокупности следующих систем:
1) Рассмотрим систему (37). Первое неравенство этой системы можно записать в виде 
множество решений этого неравенства — интервал 
с выброшенной из него точкой 
Так как 
то второе неравенство системы (37) равносильно каждому из неравенств
откуда 
Следовательно, множество решений системы (37) интервал 
2) Обратимся к системе (38). Первое неравенство этой системы равносильно неравенству 
которому удовлетворяют все точки, лежащие вне отрезка 
Второе неравенство системы (38) равносильно системе
откуда следует, что 
и 
Значит, второму неравенству системы (38) удовлетворяют значения 
из интервала 
а системе (38) — точки из интервала 
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
