Оглавление:
Логарифмические неравенства с постоянными основаниями
Рассмотрим свойства функции 
, используемые при решении логарифмических неравенств.
Логарифмическая функция 
определена при 
, является возрастающей при 
(рис. 24.1) и убывающей при 
(рис. 24.2), множество значений этой функции — множество 
.
Простейшие логарифмические неравенства
имеют решения при любом 
Если , то неравенство (1) справедливо при 
а неравенство (2) является верным при 
(рис. 24.1).
Если , то множеством решений неравенства (1) является интервал 
, а неравенство (2) является верным при 
(рис. 24.2). Неравенство
при равносильно двойному неравенству
а при неравенство (3) равносильно неравенству
Примеры с решениями
Пример №280.
Решить неравенство 
Решение:
Запишем данное неравенство в виде
и воспользуемся тем, что логарифмическая функция с основанием, большим единицы, является возрастающей (см. рис. 24.1). Получим 
откуда 
Ответ. 
Пример №281.
Решить неравенство
Решение:
Так как 
а логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, является убывающей (см. рис. 24.2), то данное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Ответ.
Пример №282.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
откуда 
Ответ.
Пример №283.
Решить неравенство 
Решение:
Данное неравенство, записанное в виде
равносильно двойному неравенству
Множество 
решений неравенства 
представляет собой объединение промежутков 
и 
(рис. 24.3), а множество решений неравенства 
равносильного неравенству 
— интервал 
(см. рис. 24.3).
Множество 
решений исходного неравенства — это пересечение (общая часть) множеств 
и 
. Следовательно, является объединением интервалов 
и 
Ответ. 
Пример №284.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство, записанное в виде
равносильно системе неравенств
Множество решений первого неравенства этой системы, равносильного неравенству 
есть объединение промежутков 
и 
(см. рис. 24.4).
Множество решений второго неравенства системы, равносильного каждому из неравенств 
есть отрезок 
(см. рис. 24.4).
Поэтому множество решений системы неравенств представляет собой объединение промежутков 
и 
Ответ. 
Пример №285.
Решить неравенство
Решение:
Так как 
то, заменив сумму логарифмов на логарифм произведения, получим неравенство
которое неравносильно неравенству (4). Действительно, в неравенстве (4) левая часть определена при 
а в неравенстве (5) — при 
и 
Таким образом, при переходе от (4) к (5) область определения неравенства расширилась. Неравенства (4) и (5) равносильны, если
Из (5) следует, что
а исходное неравенство (4) равносильно системе (6), (7). Неравенство (7) равносильно каждому из неравенств
а система (6), (7) равносильна неравенству 
Ответ. 
Пример №286.
Решить неравенство
Решение:
Допустимые значения 
определяются условием
Если выполняется условие (10), то неравенство (9) равносильно каждому из следующих неравенств:
Таким образом, неравенство (9) равносильно системе неравенств (10), (11). Решив неравенство (11), находим, что либо 
либо 
Следовательно, неравенство (9) равносильно совокупности неравенств
Ответ. 
Пример №287.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (12) имеет смысл, если 
и равносильно неравенству
так как 
Неравенство (13) на интервале 
равносильно каждому из неравенств
Уравнение 
имеет корни 
где 
а решениями неравенства (14) являются все числа из интервалов 
и 
(см. рис. 24.5).
Решениями неравенства (12) являются те и только те числа из интервалов 
которые принадлежат интервалу 
Ответ. 
Пример №288.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (15) имеет смысл в том случае, если , 
Пусть 
— область определения неравенства (15), тогда множество — это объединение интервалов 
(см. рис. 24.6).
Используя формулу 
запишем неравенство (15) в виде
Неравенство (16) на множестве равносильно каждому из неравенств
Множество всех решений неравенства (17) — интервал (1,5), а множество всех решений неравенства (15) — пересечение этого интервала и множества (см. рис. 24.6).
Ответ. 
Пример №289.
Решить неравенство
Решение:
Допустимые значения определяются условиями ,
Полагая 
и переходя к логарифмам по основанию 2, запишем неравенство (18) в виде
Неравенство (19) равносильно каждому из следующих неравенств :
Решив неравенство (20) методом интервалов, получим
Если 
то 
откуда 
Если 
то 
откуда 
Ответ.
Пример №290.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (21) имеет смысл, если 
Положим 
и воспользуемся формулой 
Тогда неравенство (21) примет вид
Неравенство (22) равносильно каждому из следующих неравенств :
Решив неравенство (23) методом интервалов, получим 
Таким образом, задача сводится к решению неравенств 
и 
Ответ. 
Пример №291.
Решить неравенство
Решение:
Область определения неравенства (24) — это множество 
чисел, удовлетворяющих условиям
На множестве неравенство (24) равносильно неравенству
Так как 
в силу условий (25), то 
и поэтому неравенство (26) равносильно каждому из неравенств
Неравенство (27) равносильно каждой из следующих систем неравенств :
Множество решений неравенства (28) — интервал 
Неравенство (29) равносильно каждому из неравенств
откуда 
Ответ. 
Пример №292.
Решить неравенство
Решение:
Функция 
определена при 
и убывает, а неравенство 
является верным тогда и только тогда, когда
(см. рис. 24.2).
Следовательно, неравенство (30) равносильно неравенству
Функция 
является возрастающей (см. рис. 24.1), а ее значения принадлежат интервалу 
в том и только в том случае, когда 
Поэтому неравенство (31) равносильно неравенству
Двойное неравенство (32) можно записать в виде следующей системы рациональных неравенств:
которая равносильна системе
откуда находим, что 
Ответ.
Замечание. При решении неравенства (30) многие абитуриенты допустили ошибку: вместо неравенства (31) записывали неравенство
затем получали неравенство (33) и, решив его с учетом ОДЗ неравенства (34), приходили к выводу, что множество решений неравенства (30) — объединение промежутков 
и 
Пример №293.
Решить неравенство
Решение:
Область допустимых значений неравенства (35) найдем из неравенства
равносильного каждому из следующих неравенств:
Рассмотрим два случая: 
1) Если 
то левая часть неравенства (35) определена и принимает неотрицательные значения, а правая часть отрицательна. Поэтому значения 
являются решениями неравенства (35).
2) Если 
то неравенство (35) равносильно каждому из следующих неравенств:
Пусть 
тогда неравенство (36) примет вид
или 
откуда 
Решив неравенство 
на множестве 
получим
Ответ. 
Пример №294.
Решить неравенство
Решение:
1) Пусть 
тогда неравенство (37) равносильно каждому из следующих неравенств:
откуда, учитывая условие , получаем 
2) Аналогично, при 
неравенство (37) равносильно каждому из неравенств
Неравенство (38) равносильно системе неравенств
Решив эту систему с учетом условия , получим 
откуда
Ответ. 
Пример №295.
Решить неравенство
Решение:
Так как 
то допустимые значения 
определяются условием
Воспользуемся равенством 
тогда неравенство (39) можно заменить (при условии (40)) каждым из следующих неравенств:
Левая часть неравенства (41) неотрицательна, поэтому все значения такие, что 
являются решениями неравен-ства (39).
Пусть 
Рассмотрим два случая: 
и 
Если 
то 
и неравенство (41) равносильно каждому из неравенств
откуда, учитывая, что получаем 
Если 
то 
и неравенство (41) равносильно каждому из неравенств
откуда 
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
