Оглавление:
Симметрические системы
Будем рассматривать системы вида
где и — многочлены, которые не изменяются при замене на , а на . Такие системы называются симметрическими. Простейшей системой этого типа является система
Используя теорему Виета, можно доказать, что система (1) и квадратное уравнение
связаны следующим образом: если и — корни квадратного уравнения (2), то система (1) имеет решения и и не имеет других решений. Обратно, если — решение системы (1), то и — корни уравнения (2).
Например, система
имеет два решения и , так как уравнение имеет два корня
Многочлены и в левых частях уравнений системы (1) являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен от и можно представить в виде многочлена от и , где
При решении симметрических систем часто приходится выражать через и многочлены вида
Суммы выражаются через следующим образом:
Формулы (3)-(6) можно легко получить самостоятельно. Докажем формулу
позволяющую последовательно выразить через и суммы и т.д. Для этого заметим, что
откуда и следует равенство (7).
Пример №174.
Решить систему уравнений
Решение:
Это — симметрическая система. Полагая и используя формулы (3), (5), запишем ее в виде
Исключая из этой системы , получаем
или откуда Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем
Ответ.
Пример №175.
Решить систему уравнений
Решение:
Воспользуемся формулами (3), (4), (6). Тогда система примет вид
Так как (при второе уравнение системы теряет смысл), то, разделив числитель и знаменатель дроби на и исключая из системы , преобразуем второе уравнение к виду откуда
Если то а если то Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих четырех систем:
Первая система имеет решения и вторая — решения и третья и четвертая системы не имеют действительных решений.
Ответ.
Замечание. К системе симметрических уравнений иногда бывает удобно свести иррациональное уравнение. Например, при решении уравнения
ввести вспомогательные неизвестные и мы получим систему
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: