Для связи в whatsapp +905441085890

Симметрические системы примеры с решением

Симметрические системы

Будем рассматривать системы вида

Симметрические системы примеры с решением

где Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением — многочлены, которые не изменяются при замене Симметрические системы примеры с решением на Симметрические системы примеры с решением, а Симметрические системы примеры с решением на Симметрические системы примеры с решением. Такие системы называются симметрическими. Простейшей системой этого типа является система

Симметрические системы примеры с решением Симметрические системы примеры с решением

Используя теорему Виета, можно доказать, что система (1) и квадратное уравнение

Симметрические системы примеры с решением Симметрические системы примеры с решением

связаны следующим образом: если Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением — корни квадратного уравнения (2), то система (1) имеет решения Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением и не имеет других решений. Обратно, если Симметрические системы примеры с решением— решение системы (1), то Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением — корни уравнения (2).

Например, система

Симметрические системы примеры с решением

имеет два решения Симметрические системы примеры с решениеми Симметрические системы примеры с решением, так как уравнение Симметрические системы примеры с решением имеет два корня Симметрические системы примеры с решением

Многочлены Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением в левых частях уравнений системы (1) являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен от Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением можно представить в виде многочлена от Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением , где Симметрические системы примеры с решением

При решении симметрических систем часто приходится выражать черезСимметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением многочлены вида

Симметрические системы примеры с решением

Суммы Симметрические системы примеры с решениемвыражаются через Симметрические системы примеры с решениемследующим образом:

Симметрические системы примеры с решением Симметрические системы примеры с решением

Формулы (3)-(6) можно легко получить самостоятельно. Докажем формулу

Симметрические системы примеры с решением Симметрические системы примеры с решением

позволяющую последовательно выразить через Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением суммы Симметрические системы примеры с решениемСимметрические системы примеры с решением и т.д. Для этого заметим, что

Симметрические системы примеры с решением

откуда и следует равенство (7).

Пример №174.

Решить систему уравнений

Симметрические системы примеры с решением

Решение:

Это — симметрическая система. Полагая Симметрические системы примеры с решением и используя формулы (3), (5), запишем ее в виде

Симметрические системы примеры с решением

Исключая из этой системы Симметрические системы примеры с решением , получаем

Симметрические системы примеры с решением

или Симметрические системы примеры с решением откуда Симметрические системы примеры с решениемСледовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем

Симметрические системы примеры с решением

Ответ. Симметрические системы примеры с решением

Пример №175.

Решить систему уравнений

Симметрические системы примеры с решением

Решение:

Воспользуемся формулами (3), (4), (6). Тогда система примет вид

Симметрические системы примеры с решением

Так как Симметрические системы примеры с решением (при Симметрические системы примеры с решением второе уравнение системы теряет смысл), то, разделив числитель и знаменатель дроби наСимметрические системы примеры с решением и исключая из системы Симметрические системы примеры с решением, преобразуем второе уравнение к виду Симметрические системы примеры с решением откуда Симметрические системы примеры с решением

Если Симметрические системы примеры с решением то Симметрические системы примеры с решением а если Симметрические системы примеры с решениемто Симметрические системы примеры с решениемПоэтому исходная система равносильна совокупности следующих четырех систем:

Симметрические системы примеры с решением

Первая система имеет решения Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением вторая — решения Симметрические системы примеры с решением и Симметрические системы примеры с решением третья и четвертая системы не имеют действительных решений.

Ответ. Симметрические системы примеры с решением

Замечание. К системе симметрических уравнений иногда бывает удобно свести иррациональное уравнение. Например, при решении уравнения

Симметрические системы примеры с решением

ввести вспомогательные неизвестные Симметрические системы примеры с решениемСимметрические системы примеры с решением и мы получим систему

Симметрические системы примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Системы линейных уравнений с примерами решения
Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением
Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
Иррациональные системы с двумя неизвестными с примерами решения