Оглавление:
Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля
Справочные сведения
Оценка левой и правой части уравнения.
Решение некоторых тригонометрических уравнений основывается на неравенствах
Кроме этих неравенств могут оказаться полезными неравенства
справедливые для любых 
и для любых натуральных кип. Складывая неравенства (1), получаем
причем неравенство (2) является строгим при 
Если 
, то справедливо равенство
т. е. числа 
, 
, и только они, являются корнями уравнения (3) при любых 
. Если уравнение имеет вид
или преобразуется к такому виду, то оно равносильно системе уравнений
Уравнения, содержащие знак корня.
Если тригонометрическое уравнение имеет вид
то, как было отмечено в §8, такое уравнение равносильно системе
При решении тригонометрических уравнений вида
следует иметь в виду, что такое уравнение равносильно каждой из следующих систем:
Уравнения, содержащие знак модуля.
При решении тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля, следует иметь в виду, что
Примеры с решениями
Пример №137.
Решить уравнение 
Решение:
В § 12 (см. пример 8) решение этого уравнения было получено с помощью подстановки 
Данное уравнение — это уравнение вида (3) при 
, 
и поэтому его корнями являются числа 
Ответ.
Пример №138.
Решить уравнение 
Решение:
Так как 
для любого 
, то уравнение может иметь корни только в том случае, когда 
, т.е. 
или 
.
Если , то 
, 
, 
откуда 
, 
. Поэтому числа 
— корни данного уравнения.
Если 
, то 
Поэтому корни уравнения 
не являются корнями исходного уравнения.
Ответ. 
Пример №139.
Решить уравнение
Решение:
Левая часть уравнения (4) не превосходит четырех, так как 
, а правая не меньше четырех. Отсюда следует, что уравнение (4) может иметь решения только при одновременном выполнении условий
Если справедливо равенство (5), то
Из (8) и (9) следует, что равенство (6) верно только тогда, когда 
, т.е. когда число 
делится на 3. Число вида делится на 3 тогда и только тогда, когда 
, где 
.
Ответ. 
Пример №140.
Решить уравнение
Решение:
Допустимые значения 
определяются условиями
Воспользуемся равенствами
справедливыми при условиях (11).
Тогда уравнение (10) равносильно уравнению
при выполнении условий (11).
Так как 
, a 
, то уравнение (12) равносильно системе уравнений
которая, в свою очередь, равносильна системе
Поскольку каждый корень уравнения (13) является корнем уравнения (14), а для значений , удовлетворяющих уравнению (13), выполняются условия (11), уравнение (13) равносильно уравнению (10).
Ответ. 
Пример №141.
Решить уравнение 
Решение:
Уравнение можно записать в виде
и поэтому оно равносильно системе
Уравнение 
имеет корни 
которые не являются корнями второго уравнения системы. Поэтому исходное уравнение не имеет корней.
Пример №142.
Найти все корни уравнения
принадлежащие отрезку 
Решение:
Уравнение (15) равносильно каждому из следующих уравнений:
Уравнение (16) равносильно системе уравнений
Из (18) следует, что
Подставляя найденное значение в уравнение (17), получаем
Равенство (20) является верным в том и только в том случае, когда 
— четное число. Поэтому все корни уравнения (15) определяются формулой
а отрезку 
принадлежат те значения , которые получаются из формулы (21) при 
и 
.
Ответ. 
Пример №143.
Решить уравнение
Решение:
Первый способ. Запишем уравнение в виде
Прибавляя и вычитая в левой части уравнения (23) 
, преобразуем это уравнение к виду
Равенство (24) является верным тогда и только тогда, когда верны равенства
Система (25) равносильна совокупности двух систем
Если 
, то 
, и система (26) имеет решения 
, которые являются решениями уравнения (22).
Система (27) не имеет решений, так как из равенства 
следует, что 
и 
.
Ответ. 
Второй способ. Решив уравнение (22) как квадратное относительно 
, получаем
Из (28) следует, что уравнение (22) может иметь решение лишь тогда, когда 
т.е. при условии, что хотя бы одно из равенств 
является верным.
Если 
то из (28) получаем 
Числа 
являются решениями уравнения (22). Если 
то 
и 
но из (28) следует, что 
Итак, снова получаем, что числа 
и только они, являются корнями уравнения (22).
Пример №144.
Решить уравнение
Решение:
Возведя обе части уравнения (29) в квадрат, получаем уравнение 
которое равносильно каждому из уравнений
Уравнение 
имеет корни 
являющиеся корнями уравнения (29). Решив уравнение 
находим 
откуда
Из чисел, определяемых формулой (30), уравнению (29) удовлетворяют лишь те значения 
, для которых 
Так как 
a 
, то неравенство 
равносильно неравенству 
и поэтому в формуле (30) знак 
следует заменить на знак 
.
Ответ. 
Пример №145.
Решить уравнение
Решение:
Левая часть уравнения определена при всех значениях , так как 
и неотрицательна. Возведя обе части уравнения (31) в квадрат, получим уравнение
являющееся следствием уравнения (31).
Корнями уравнения (31) являются все те и только те корни уравнения (32), которые удовлетворяют условию
Иначе говоря, уравнение (31) равносильно системе, состоящей из уравнения (32) и неравенства (33).
Уравнение (32) сводится к квадратному относительно 
, если воспользоваться формулой 
. Применив эту формулу, запишем уравнение (32) в виде 
, откуда найдем 
Если 
, то 
а условие (33) выполняется.
Если 
то
В том случае, когда в формуле (34) взят знак 
, 
а если взят знак 
, то 
Отметим еще, что 
Ответ.
Замечание. Многие абитуриенты допустили ошибку, решая уравнение (32) без учета условия (33). Это привело к появлению посторонних для уравнения (31) корней.
Пример №146.
Решить уравнение
Решение:
Возведя обе части уравнения (35) в квадрат, получим уравнение
являющееся следствием уравнения (35). Уравнение (36) равносильно каждому из следующих уравнений:
Решив уравнение (37), находим 
1) Если 
то
Пусть в формуле (38) 
— четное число 
тогда числа 
— корни уравнения (35), так как 
Пусть — нечетное число 
тогда
Из (39) следует, что 
и поэтому значения , определяемые формулой (39), не являются корнями уравнения (35).
2) Если 
то
Пусть в формуле (40) — четное число, тогда
Положим 
отсюда
так как 
Поэтому значения , определяемые формулой (41), не являются корнями уравнения (35).
Пусть 
тогда числа 
корни уравнения (35), поскольку в этом случае 
Ответ. 
Пример №147.
Решить уравнение
Решение:
Так как правая часть уравнения (42) неотрицательна, то уравнение может иметь решения только в том случае, когда
Если освободиться от радикала возведением обеих частей уравнения (42) в квадрат, то получается уравнение
Уравнение (44) является тождеством. Однако это не означает, что уравнению (42) удовлетворяют все значения , поскольку уравнение (44) — лишь следствие уравнения (42). Эти уравнения равносильны при выполнении условия (43). Таким образом, решениями уравнения (42) являются все значения , удовлетворяющие неравенству (43), и только эти значения. Решая неравенство (43), получаем
Ответ. Объединение всех отрезков вида
Замечание. Так как
то уравнение (42) равносильно уравнению
решениями которого являются те и только те значения х, которые удовлетворяют неравенству 
Пример №148.
Решить уравнение
Решение:
Допустимые значения определяются условием 
а уравнение (45) можно записать в виде
Рассмотрим два случая: 
1) Если 
, то уравнение (46) приводится к виду 
откуда следует, что 
. В данном случае решений нет.
2) Если 
, то, полагая в (46) 
получаем
откуда 
Ответ. 
Пример №149.
Решить уравнение
Решение:
Положим 
рассмотрим два возможных случая:
и 
а) Пусть , тогда уравнение (47) примет вид
Уравнение (48), равносильное уравнению (47), не имеет действительных корней.
б) Пусть , тогда уравнение (47) примет вид
Так как 
то уравнение (49), равносильное уравнению 
имеет корни 
Если 
то
Так как 
, то уравнение (50) равносильно уравнению 
откуда, с учетом условия 
получаем 
Если 
, то 
Ответ.
Пример 150.
Решить уравнение
Решение:
Возможны два случая: 
и 
.
1) Пусть , тогда уравнение (51) примет вид
Преобразуя это уравнение, получаем
Если 
, то
Если 
или 
Корни уравнения 
содержатся в серии (52).
Решив уравнение 
с учетом условия , находим
2) Пусть 
, тогда из (51) следует, что
Решив уравнения 
и 
при условии
найдем еще две серии корней уравнения (51):
Серии (53) и (55) можно объединить в одну:
Ответ. 
Пример №151.
Решить уравнение
Решение:
Рассмотрим два случая: 
и 
.
1) Если , то 
и уравнение (56) равносильно каждому из уравнений
а уравнение (57) равносильно совокупности уравнений
Условию удовлетворяют следующие две серии корней уравнения (58):
а также корни уравнения (59) такие, что
2) Если , то 
и уравнение (56) равносильно каждому из уравнений
Так как 
, то уравнение (61) равносильно каждому из уравнений
откуда получаем 
(и тогда 
) и
Таким образом, если , то все корни уравнения (56) содержатся среди корней уравнения (62), т. е. среди чисел вида
Условию 
удовлетворяют числа из формулы (63), взятые со знаком 
, т. е. значения
Заметим, что серии (64) и (60) можно объединить в одну: 
Ответ. 
Пример №152.
Решить уравнение
Решение:
Здесь ОДЗ уравнения (65) определяется условием 
Рассмотрим два возможных случая: 
и 
.
1) Если , то все корни уравнения (65) содержатся среди корней каждого из следующих равносильных уравнений:
а уравнение (66) равносильно совокупности уравнений
Чтобы найти корни уравнения (67), удовлетворяющие условию , воспользуемся формулой
Отсюда следует, что уравнению (67) и условию удовлетворяют корни уравнения 
т.е. числа
Корнями уравнения (68), удовлетворяющими условию , являются числа
2) Если , то все корни уравнения (65) содержатся среди корней каждого из следующих уравнений:
Уравнение 
равносильно уравнению 
, откуда (при условии 
) 
Уравнение 
не имеет корней. Таким образом, корнями уравнения (65) являются числа, определяемые формулами (69)—(71).
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
