Оглавление:
Уравнения и неравенства вида 
, где функции 
и 
имеют разную монотонность
Уравнения вида 
, где и являются функциями разной монотонности (т.е. одна из них на ОДЗ возрастает, а другая, напротив, убывает), имеют не более одного решения. Если корень удаётся найти (подобрать), то это будет единственное решение. Отметим, что если вы используете данный метод для решения задачи, следует привести всю логическую цепочку обоснований (см. примеры ниже), включая обоснование монотонности функций (по определению или с помощью производной).
При этом если — возрастает, — убывает, а 
— корень уравнения, то 
при 
где 
и 
при 
, т.е. данный подход можно применять и для решения соответствующих неравенств.
Метод применим и в том случае, когда в одной части уравнения стоит строго монотонная функция, а в другой — постоянная функция.
Пример №383.
Решить уравнение 
Решение:
Очевидно, что 
является решением. Покажем, что других корней нет. В самом деле, в левой части уравнения находится сумма двух монотонно возрастающих на ОДЗ уравнения функций
Докажем, например, что функция 
возрастает при 
. По определению, функция 
называется возрастающей на множестве 
, если для любых двух значений 
и 
из этого множества таких, что 
, выполняется неравенство 
. Зафиксируем любые два значения и , из промежутка 
такие, что 
. Так как неравенство 
верно для такихи , то монотонное возрастание первой из функций доказано. Аналогично доказывается возрастание второй функции 
.
Итак, в левой части уравнения находится возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций). В правой части уравнения стоит постоянная функция 
. Графики таких функций пересекаются не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Так как одно решение выше было найдено 
, то других решений нет.
Пример №384.
Решить неравенство
Решение:
Заметим, что функция 
, расположен-ная в левой части неравенства, монотонно убывает при 
.
Действительно, возьмём произвольные числа
, <4 такие, что 
, и покажем, что 
. В самом деле,
что верно. Так как для функции на луче
выполняется определение монотонно убывающей функции, то убывание доказано.
Заметим, далее, что функция в правой части неравенства
наоборот, возрастает при 
как функция, возрастающая на каждом из двух смежных промежутков 
и 
(см. рис.). Графики таких функций ) и пересекаются не более чем в одной точке. Учитывая, что 
, получаем, что решением неравенства 
будет отрезок 
В частности, неравенства вида 
, где — возрастающая функция, а её единственный нуль, имеют своим решением промежуток 
(соответственно промежуток 
, где 
— область определения функции. Аналогично, если — убывающая функция, то решением неравенства 
будет 
, а решением неравенства 
— промежуток 
Пример №385.
Решить неравенство 
Решение:
Перепишем неравенство в виде 
и обозначим 
Требуется определить, при каких значениях переменной 
данная функция принимает положительные значения. Покажем, что функция возрастает на всей числовой прямой. Действительно, найдём её производную 
Так как дискриминант квадратного трёхчлена 
отрицателен, то 
при всех , т.е. функция монотонно возрастает. Но если функция непрерывна и монотонно возрастает на всей числовой прямой, то её график пересекает ось 
в единственной точке. Заметим, что 
Осталось с учётом положительности значений функции выписать ответ. Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
