Оглавление:
Метод замены переменных
Этот распространённый метод используется для разных целей: упрощение задачи и повышение её наглядности, придание уравнению (неравенству, системе и проч.) более симметричного вида, сведение одного уравнения к системе нескольких уравнений, рационализация иррациональностей (см. пункт 3.3) и т.д. Иными словами, введение новых переменных производится в тех случаях, когда есть возможность свести задачу к другой, для которой существует более эффективный способ решения.
Существуют виды уравнений, для которых разработаны специальные подстановки, позволяющие наиболее оптимально решать эти уравнения (например, симметрические и возвратные уравнения, однородные уравнения и многие другие). Рассмотрим дополнительно группу примеров, иллюстрирующих различные цели использования этого подхода.
Начнём с примера, в котором при помощи замены неизвестной рациональное неравенство сводится также к рациональному, но более простому алгебраическому неравенству.
Пример №350.
Решить неравенство
Решение:
Положим 
. Тогда необходимо решить неравенство 
. Выполнив обратную подстановку, получим квадратное уравнение 
, решив которое, приходим к ответу. Ответ:
В следующем примере дробно-рациональное уравнение заменой сводится к целому алгебраическому уравнению.
Пример №351.
Решить уравнение 
Решение:
Обозначим разность 
через 
, тогда уравнение перепишется в виде 
Это уравнение имеет два корня 
и 
, что приводит к совокупности уравнений
Первое уравнение даёт корни 
, а второе — 
которые и будут решениями исходного уравнения.
В некоторых случаях алгебраическую задачу (даже если в её условиях не содержится радикалов) с помощью специальных тригонометрических подстановок бывает целесообразно свести к тригонометрической задаче, и далее уже решать её методами тригонометрии.
Пример №352.
Известно, что 
и 
. Чему равно значение
?
Решение:
Воспользуемся тем, что если два действительных числа X, у удовлетворяют равенству
где 
— заданное число, то 
и можно представить в тригонометрическом виде 
, где 
. В самом деле, уравнение (1) задаёт на плоскости 
окружность радиуса 
с центром в начале координат. При изменении 
от 
до 
точка с координатами 
ровно один раз обходит окружность, и таким образом между точками окружности и полуинтервалом 
оказывается установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому значению из соответствует единственная пара чисел , удовлетворяющих равенству (1), и наоборот, каждой паре чисел, удовлетворяющих (1), соответствует единственное значение из .
Итак, поскольку числа 
удовлетворяют равенству 
, то найдётся такое число 
, что 
, 
. Аналогично, поскольку числа 
удовлетворяют равенству 
, то найдётся такое число
, что 
, 
. При этом условие 
примет вид
Выполнив тригонометрическую подстановку в искомом выражении 
, получим:
Введение новых переменных может быть вызвано необходимостью понизить степень уравнения, упростив при этом решение задачи.
Пример №353.
Решить уравнение 
Решение:
Сведём данное уравнение 4-й степени к квадратному уравнению. Для этого вначале умножим обе части уравнения на 12 и приведём его к виду
Затем сделаем подстановку 
, что приведёт к уравнению
Сделав ещё одну подстановку 
, сведём окончательно данное биквадратное уравнение к квадратному уравнению 
, решив которое, находим корни 
. Тогда 
и 
Ответ: 
В следующем примере используется симметризирующая подстановка. Название говорит само за себя: уравнению придаётся более «симметричный» вид. Новая переменная является средним арифметическим входящих в уравнение выражений. При её применении уравнение 4-й степени общего вида приводится к более простому частному случаю, а именно, симметризация уравнения позволяет «убрать» из уравнения нечётные степени неизвестной, оставив только чётные и превратив его, таким образом, в биквадратное уравнение.
Пример №354.
Решить уравнение
Решение:
Выполним симметризирующую подстановку
Тогда уравнение примет вид
Ответ: 
6.Близко к методу введения новых переменных стоит так называемый метод введения параметра. Не всегда введение параметра усложняет задачу. На примере, рассмотренном ниже, видно, как включение параметра в уравнение вместо числового коэффициента позволяет лучше «разглядеть» способ дальнейшего его решения — рассмотрение уравнения как квадратного относительно введённой величины.
Пример №355.
Решить уравнение
Решение:
Введём в уравнение параметр, положив 
:
Рассмотрим теперь это уравнение как квадратное относительно 
. Приведём его к стандартному виду 
и вычислим дискриминант 
Найдём корни:
т.е. 
или 
. Параметр к этому моменту сыграл свою положительную роль, позволив свести решение кубического относительно уравнения к совокупности двух уравнений более низкой степени: квадратного и линейного.
Заменяя числом 
, получим совокупность
Отсюда находим решения: 
Замечание. В формуле корней квадратного уравнения более корректным было, вообще говоря, написать
Однако когда ищутся оба корня, то использование формул (1) и (2) приводит к одному результату. Именно поэтому часто в подобных ситуациях модуль опускают.
7.Отметим, что, вообще говоря, не всегда в задаче нужно полностью переходить к новым переменным. Иногда имеет смысл, вводя новую переменную, сохранить в задаче и первоначальную переменную, т.е. сделать частичную замену переменных. Так, сведением к системе уравнений, решаются некоторые уравнения. Рассмотрим в качестве пояснения пример.
Пример №356.
Решить уравнение
Решение:
Так как 
не является корнем, то уравнение можно привести к равносильному виду
Положим 
, тогда уравнение сведётся к равносильной ему системе
Решая эту систему относительно 
и 
, приходим к ответу: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
