Оглавление:
Метод интервалов
В отличие от рассмотренного выше приёма, основанного на раскрытии модулей по определению, метод интервалов оказывается эффективен в задачах, содержащих сразу несколько модулей.
Пусть, например, дано уравнение с одним неизвестным x вида

где и
некоторые заданные функции.
Чтобы решить его методом интервалов, надо сделать следующее.
1) Приравнять к нулю все подмодульные выражения и решить полученные уравнения:
Допустим, решениями этой совокупности уравнений являются числа
.
2) Найденные k чисел разбивают всю область допустимых значений переменной x на конечное число интервалов (отсюда название метода), на каждом из которых каждая из функцийсохраняет определённый знак. Затем задача решается на каждом из этих интервалов.
3) Возьмём, к примеру, первый из интервалов. Пусть это будет интервал Подставляя поочерёдно любое удобное число x из этого интервала в подмодульные выражения и оценивая их знак, раскрываем каждый из модулей, по определению, либо со знаком «плюс», либо со знаком «минус». Технически это происходит так: если выражение под модулем положительно, то модуль опускается (заменяется обычными скобками); если же выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль заменяется скобками, перед которыми ставится знак минус. Таким образом, в задаче не остается нераскрытых модулей, после чего она решается.
4) Из найденных решений отбираются те, которые принадлежат рассматриваемому интервалу Только они будут решениями задачи. Затем переходим к следующему промежутку [
5) Рассмотрев по очереди все промежутки, объединяем в ответе решения, полученные на каждом из промежуточных интервалов.
Аналогичным образом можно решать и неравенства. Если в задаче имеется единственный модуль, то метод интервалов сводится фактически к раскрытию этого модуля по определению.
Теоретически метод интервалов может быть применён для решения большинства задач, содержащих модули. Однако, несмотря на его широкую распространённость, в экзаменационной практике встречаются задачи, для решения которых гораздо целесообразнее применять другие способы (задачи такого рода будут рассмотрены далее). Обратимся к примерам на использование метода интервалов.
Пример №264.
Решить уравнение

Решение:
Решим задачу методом интервалов. Определив три точки в которых подмодульные выражения обращаются в нуль (и меняют свои знаки), получаем четыре промежутка, и далее раскрываем модули последовательно на каждом из них.
1) Пусть подставляя вместо x любое число, лежащее внутри этого промежутка, например (- 10), оцениваем знак каждого подмодульного выражения. Так как при x = — 10 имеем x — 1 < 0 , x — 2 < 0 , x — 3 < 0 , то все три модуля на данном промежутке раскроем со знаком «минус», и уравнение примет вид
— решение.
2) : подставляя вместо x , например, число 3/2 , оцениваем знаки выражений под модулями. При этом значении x имеем x -1 > 0 , x- 2 < 0 , x -3 < 0, поэтому первый модуль раскроем со знаком «плюс», а остальные два — со знаком «минус»:

Полученное равенство не содержит x, а значит, выполняется при всех X из данного промежутка. Таким образом, весь промежуток войдёт в ответ.
3) : действуя аналогично предыдущему, получим:

— нет решений.
4) : на последнем промежутке уравнение примет вид

) — решение.
Для получения ответа осталось объединить все найденные решения. Ответ:
Полностью аналогичный подход используется и при решении неравенств с модулями.
Пример №265.
Решить неравенство
Решение:
Согласно методу интервалов, для освобождения от знаков абсолютной величины разобьём числовую ось на промежутки.
1) Если то
и
Значит, на этом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «минус»:
,
, и неравенство принимает вид
что равносильно неравенству
. Все эти значения x входят в рассматриваемый промежуток и поэтому являются решениями исходного неравенства.
2) Если , то
и
Значит, |
, и исходное неравенство принимает вид
Оно не имеет решений, а следовательно, исходное неравенство не имеет решений в промежутке (1,2].
3) Наконец, если , то
и
Значит,
и исходное неравенство принимает вид
Множество решений этого неравенства состоит из двух промежутков
и
В рассматриваемую область попадает лишь второй из промежутков
Все значения x из него и будут решениями исходного неравенства. Объединяя полученные решения, приходим к ответу. Ответ:
Метод интервалов используется и при решении задач, в которых имеются вложенные друг в друга модули.
Пример №266.
Решить уравнение

Решение:
Раскроем модули, начиная с внутреннего модуля. Для этого рассмотрим два случая.
1) : имеем
. Если при этом
, то, раскрывая оставшийся модуль, получим
. Если же
, то, раскрывая модуль, найдём
2) : имеем
, т.е.
. Объединяя найденные решения, приходим к ответу:
.
Особый интерес (и часто наибольшие трудности) представляют задачи, содержащие наряду с модулями параметры. Рассмотрим пример.
Пример №267.
Для каждого значения а найти все x, удовлетворяющие уравнению

Решение:
Воспользуемся методом интервалов, для этого рассмотрим три промежутка, на которые точки x = 2 и x = — 3 разбивают ОДЗ уравнения (всю числовую прямую), и решим задачу на каждом из них.
1) Пусть : раскрывая модули со знаком «минус», получаем линейное уравнение
, и приводим его к виду

Если , то
, однако это число не принадлежит рассматриваемому промежутку и поэтому не будет решением ни при каких а .
Если , то, подставляя
в уравнение (1), получаем уравнение
, которому удовлетворяет произвольное действительное x. С учётом рассматриваемого промежутка имеем
2) Пусть : раскрывая первый из модулей со знаком «минус», а второй со знаком «плюс», получаем уравнение
, и приводим его к виду

Если , то
— решение.
Если же , то имеем уравнение
Учитывая промежуток, получаем
3) Пусть : раскрывая оба модуля со знаком «плюс», получаем уравнение
и приводим его к виду

Если , то
. Выясним, при каких значениях параметра а найденное число будет принадлежать рассматриваемому промежутку (т.е. являться решением). Для этого составим и решим неравенство

Если же , то уравнение (3) приобретает вид
и, очевидно, не имеет решений. Наконец, объединяя полученные результаты, приходим к ответу.
Ответ: при ; при
при , ; при
;при
Метод интервалов используют и в случаях необходимости построения графика функции, если она содержит неизвестную под знаком модуля.
Пример №268.
Найти наименьшее значение функции

Решение:
Воспользуемся методом интервалов, начав раскрывать модули с модулей
1) на этом интервале уравнение функции примет вид
2) раскрывая модули, получаем
3) : раскрывая модули и упрощая функцию, получаем

Итак, при помощи метода интервалов удалось найти аналитическое представление функции. Построим её график.

Из графика ясно, что функция принимает наименьшее значение, равное 1, при х = — 1.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: