Метод интервалов для модульных уравнений с примерами решения

Оглавление:

Метод интервалов

В отличие от рассмотренного выше приёма, основанного на раскрытии модулей по определению, метод интервалов оказывается эффективен в задачах, содержащих сразу несколько модулей.

Пусть, например, дано уравнение с одним неизвестным x вида

где Метод интервалов и некоторые заданные функции.

Чтобы решить его методом интервалов, надо сделать следующее.

1) Приравнять к нулю все подмодульные выражения Метод интервалов и решить полученные уравнения: Допустим, решениями этой совокупности уравнений являются числа .

2) Найденные k чисел разбивают всю область допустимых значений переменной x на конечное число интервалов (отсюда название метода), на каждом из которых каждая из функций Метод интервалов сохраняет определённый знак. Затем задача решается на каждом из этих интервалов.

3) Возьмём, к примеру, первый из интервалов. Пусть это будет интервал Метод интервалов Подставляя поочерёдно любое удобное число x из этого интервала в подмодульные выражения и оценивая их знак, раскрываем каждый из модулей, по определению, либо со знаком «плюс», либо со знаком «минус». Технически это происходит так: если выражение под модулем положительно, то модуль опускается (заменяется обычными скобками); если же выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль заменяется скобками, перед которыми ставится знак минус. Таким образом, в задаче не остается нераскрытых модулей, после чего она решается.

4) Из найденных решений отбираются те, которые принадлежат рассматриваемому интервалу Метод интервалов Только они будут решениями задачи. Затем переходим к следующему промежутку [

5) Рассмотрев по очереди все промежутки, объединяем в ответе решения, полученные на каждом из промежуточных интервалов.

Аналогичным образом можно решать и неравенства. Если в задаче имеется единственный модуль, то метод интервалов сводится фактически к раскрытию этого модуля по определению.

Теоретически метод интервалов может быть применён для решения большинства задач, содержащих модули. Однако, несмотря на его широкую распространённость, в экзаменационной практике встречаются задачи, для решения которых гораздо целесообразнее применять другие способы (задачи такого рода будут рассмотрены далее). Обратимся к примерам на использование метода интервалов.

Пример №264.

Решить уравнение

Решение:

Решим задачу методом интервалов. Определив три точки Метод интервалов в которых подмодульные выражения обращаются в нуль (и меняют свои знаки), получаем четыре промежутка, и далее раскрываем модули последовательно на каждом из них.

1) Пусть Метод интервалов подставляя вместо x любое число, лежащее внутри этого промежутка, например (- 10), оцениваем знак каждого подмодульного выражения. Так как при x = — 10 имеем x — 1 < 0 , x — 2 < 0 , x — 3 < 0 , то все три модуля на данном промежутке раскроем со знаком «минус», и уравнение примет вид

Метод интервалов — решение.

2) Метод интервалов : подставляя вместо x , например, число 3/2 , оцениваем знаки выражений под модулями. При этом значении x имеем x -1 > 0 , x- 2 < 0 , x -3 < 0, поэтому первый модуль раскроем со знаком «плюс», а остальные два — со знаком «минус»:

Полученное равенство не содержит x, а значит, выполняется при всех X из данного промежутка. Таким образом, весь промежуток войдёт в ответ.

3) Метод интервалов : действуя аналогично предыдущему, получим:

Метод интервалов — нет решений.

4) Метод интервалов : на последнем промежутке уравнение примет вид

Метод интервалов ) — решение.

Для получения ответа осталось объединить все найденные решения. Ответ: Метод интервалов

Полностью аналогичный подход используется и при решении неравенств с модулями.

Пример №265.

Решить неравенство Метод интервалов

Решение:

Согласно методу интервалов, для освобождения от знаков абсолютной величины разобьём числовую ось на промежутки.

1) Если Метод интервалов то и Значит, на этом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «минус»: ,, и неравенство принимает вид что равносильно неравенству . Все эти значения x входят в рассматриваемый промежуток и поэтому являются решениями исходного неравенства.

2) Если Метод интервалов , то и Значит, |, и исходное неравенство принимает вид Оно не имеет решений, а следовательно, исходное неравенство не имеет решений в промежутке (1,2].

3) Наконец, если Метод интервалов , то и Значит, и исходное неравенство принимает вид Множество решений этого неравенства состоит из двух промежутков и В рассматриваемую область попадает лишь второй из промежутков Метод интервалов Все значения x из него и будут решениями исходного неравенства. Объединяя полученные решения, приходим к ответу. Ответ:

Метод интервалов используется и при решении задач, в которых имеются вложенные друг в друга модули.

Пример №266.

Решить уравнение

Решение:

Раскроем модули, начиная с внутреннего модуля. Для этого рассмотрим два случая.

1) Метод интервалов : имеем . Если при этом , то, раскрывая оставшийся модуль, получим . Если же , то, раскрывая модуль, найдём

2) Метод интервалов : имеем , т.е. . Объединяя найденные решения, приходим к ответу: .

Особый интерес (и часто наибольшие трудности) представляют задачи, содержащие наряду с модулями параметры. Рассмотрим пример.

Пример №267.

Для каждого значения а найти все x, удовлетворяющие уравнению

Решение:

Воспользуемся методом интервалов, для этого рассмотрим три промежутка, на которые точки x = 2 и x = — 3 разбивают ОДЗ уравнения (всю числовую прямую), и решим задачу на каждом из них.

1) Пусть Метод интервалов : раскрывая модули со знаком «минус», получаем линейное уравнение , и приводим его к виду

Если Метод интервалов , то , однако это число не принадлежит рассматриваемому промежутку и поэтому не будет решением ни при каких а .

Если Метод интервалов , то, подставляя в уравнение (1), получаем уравнение , которому удовлетворяет произвольное действительное x. С учётом рассматриваемого промежутка имеем Метод интервалов

2) Пусть Метод интервалов : раскрывая первый из модулей со знаком «минус», а второй со знаком «плюс», получаем уравнение , и приводим его к виду

Если Метод интервалов , то — решение.

Если же Метод интервалов , то имеем уравнение Учитывая промежуток, получаем

3) Пусть Метод интервалов : раскрывая оба модуля со знаком «плюс», получаем уравнение и приводим его к виду

Если Метод интервалов , то . Выясним, при каких значениях параметра а найденное число будет принадлежать рассматриваемому промежутку (т.е. являться решением). Для этого составим и решим неравенство

Если же Метод интервалов , то уравнение (3) приобретает вид и, очевидно, не имеет решений. Наконец, объединяя полученные результаты, приходим к ответу.