Раскрытие модулей но определению

Раскрытие модулей но определению

Если в задаче содержится модуль (как правило, один), то рассматривают два случая: когда выражение под знаком модуля больше либо равно нулю и когда оно меньше нуля. В первом случае модуль опускают (это часто называют «раскрыть модуль со знаком плюс»), а во втором — модуль заменяют скобками, перед которыми ставится знак минус (называется «раскрыть модуль со знаком минус»), В отдельных задачах бывает удобнее рассмотреть три случая: когда подмодульное выражение больше, меньше или равно нулю. Например, уравнения вида этим способом сводятся к совокупности двух систем

Аналогично можно решать неравенства вида где знак заменяет любой из знаков неравенства.

Замечание. Раскрывать модули по определению можно и в случаях, когда их количество в задаче больше одного, но тогда, например, при решении уравнения придётся рассмотреть четыре случая:

(и в каждом случае раскрывать модули и решать уравнение), в то время как при использовании метода интервалов — всего три:

что эффективнее. Рас-смотрим соответствующие примеры.

Пример №257.

Решить уравнение

Решение:

Рассмотрим два случая:

Пример №258.

Решить неравенство

Решение:

Раскладывая левую часть неравенства на множители, имеем

Пример №259.

Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: Рассмотрим два случая:

Ответ:

Пример №260.

Решить уравнение

Ответ:

Пример №261.

Найти все пары (х;у), удовлетворяющие условию

Решение:

1) При x = 0 неравенство верно при любом действительном у. Отсюда получаем пары чисел где

2) При x >0 имеем: откуда получаем пары чисел вида где

3) При имеем: т.е. получили пары

Ответ:

Пример №262.

Решить неравенство

Решение:

Здесь целесообразно вначале «отделить» параметр от переменной , и уже затем раскрывать модуль, но только над x .

1) При имеем:

Если , то решением будет Пересекая с промежутком получаем Если то решением будет Пересекая с промежутком получаем Если то неравенство примет вид что не выполняется ни при каких x .

2) При имеем:

Пересекая с промежутком получаем, что при всех а реше-нием будет любое Осталось объединить полученные решения.

Ответ: при при

Пример №263.

Найти сумму целых решений неравенства

Решение:

В этой задаче имеются вложенные модули. Раскроем их, начиная с внутреннего модуля. Для этого рассмотрим два случая.

1) Посколь-ку на рассматриваемом промежутке то оставшийся модуль раскрывается со знаком «минус», и получаем Пересекая с данным промежутком, имеем результат:

2) раскрывая внутренний модуль, получаем . Если при этом то имеемпересекая с данным промежутком, получаем решения если же то имеем или, с учётом промежутка, Объединяя результаты, находим множество всех решений неравенства:

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Модуль действительного числа, его график и свойства

Методы решения задач с модулями в математике

Метод интервалов для модульных уравнений с примерами решения

Метод областей для решения уравнений с примерами решения