Оглавление:
Замена переменных: рационализирующие подстановки
Метод замены переменных часто позволяет преобразовать иррациональное уравнение (неравенство) к рациональному виду. В этом случае говорят о рационализации уравнений (неравенств), а используемые подстановки называют рационализирующими.
Рассмотрим наиболее типичные алгебраические, тригонометрические и гиперболические подстановки. Обозначим символом R(x,y) рациональную дробь, т.е. дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно переменных x и у .
Рационализация выражений вида 
содержащих линейную иррациональность 
, где а и b— постоянные 
осуществляется с помощью алгебраической подстановки 
Возводя обе части этого равенства в степень n , получим 
откуда 
Переходя в R от переменной x к переменной t, получим рациональное выражение
Аналогичным образом рационализируются выражения вида
При этом используется подстановка 
Пример №245.
Решить уравнение 
Решение:
Сделаем рационализирующую подстановку 
откуда находим 
Подставим в уравнение: 
решая которое, находим корни 
Поэтому 
Рационализация выражений вида 
, содержа-щих дробно- линейную иррациональность 
, где a ,b ,c, d — постоянные 
осуществляется с помощью алгебраической подстановки 
Пример №246.
Решить неравенство
Решение:
Сначала преобразуем неравенство к виду
Сделаем подстановку 
и получим рациональное неравенство относительно t :
Осталось сделать обратную подстановку
Иррациональные уравнения вида 
где a ,b ,c ,d , p — некоторые числа 
двойной подстановкой 
сводятся к системе двух рациональных уравнений
Пример №247.
Решить уравнение 
Решение:
Выполним двойную (рационализирующую) подстановку 
Уравнение примет вид u+v=2 Составим ещё одно уравнение относительно неизвестных u и v . Так как 
то, исключая x находим: 
Добавляя это уравнение к исходному уравнению, получим систему уравнений с двумя неизвестными u и v:
Система имеет единственное решение u = 0, v = 2, откуда находим x =3.
Пример №248.
Решить уравнение 
Решение:
Положим 
Тогда 
и 
Таким образом, приходим к системе двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
Пример №249.
Решить уравнение 
Решение:
Аналогично двум предыдущим примерам, положим 
Исходное уравнение примет вид 
Заметим, что 
Имеем систему
Вторая система решений не имеет, а первая даёт два решения:
Ответ: 
Иногда при рационализации иррациональных уравнений и неравенств оказываются эффективными тригонометрические подстановки. Здесь следует иметь в виду следующие рекомендации.
Рационализацию выражений вида 
рекомендуется делать с помощью подстановки 
, где 
Тогда
, так как на промежутке 
косинус принимает неотрица-тельные значения. При этом алгебраическое иррациональное выражение 
преобразуется к виду тригонометриче-ского, но уже рационального выражения
Также в этом случае можно сделать подстановку 
где 
и тогда вместо иррациональной функции 
получили бы рациональную тригонометрическую функцию [20]
Пример №250.
Решить уравнение
Решение:
Сделаем тригонометрическую подстановку 
, 
Получим
Из первой серии в отрезок 
попадают два значения 
а из второй 
Им соответствуют 
,
Пример №251.
Решить уравнение
Решение:
Сделаем тригонометрическую подстановку 
где 
Тогда 
и уравнение примет вид:
Из 1-й серии в отрезок 
попадает одно значение 
, из 2-й два значения
Следовательно, уравнение имеет три решения:
Для рационализации выражений вида 
применя-ют подстановку 
, где 
В этом случае
так как на рассматриваемом интервале косинус положителен. В результате выражение 
преобразуется к виду 
В данной ситуации можно было также сделать подстановку
или гиперболическую подстановку 
В последнем случае
(так как 
).
Пример №252.
Решить уравнение 
Решение:
Воспользуемся тригонометрической подстановкой вида
, где 
Тогда уравнение примет вид
Умножая уравнение на 
получим равносильное уравнение
которое сводится к квадратному уравнению относительно 
:
откуда находим 
Случай 
невозможен, так как 
Итак,
и, следовательно,
Ответ: 
Для рационализации выражений вида 
применяют одну из следующих тригонометрических подстановок:
или
В первом случае радикал упрощается следующим образом:
Для рационализации данного выражения 
можно также использовать гиперболическую подстановку 
если 
, и подстановку 
, если 
В первом случае имеем
и выражение приводится к рациональному виду
Существуют приёмы, позволяющие рационализировать выражения с квадратичными иррациональностями общего вида
где 
, 
— постоянные. В частности, уравнения вида
а также вида
где 
— постоянные, заменой
соответственно,
сводятся к системе рациональных уравнений.
Пример №252.
Решить уравнение
Решение:
Положим 
Тогда уравнение сводится к системе
(из первого уравнения 
), откуда, как следствие, получаем
Для решения первого из уравнений сложим его с исходным:
Второе уравнение совокупности неотрицательных корней не имеет. Проверка показывает, что x = 1 удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: 
Рассмотрим ещё один пример с квадратичной иррациональностью.
Пример №253.
Решить уравнение
Решение:
Положим 
тогда уравнение сводится к системе
Выполняя обратную подстановку, получим уравнение
Рационализирующие подстановки используются также в задачах с несколькими неизвестными, например при решении систем.
Пример №254.
Решить систему
Решение:
Сделаем тройную подстановку
Составив самосто-ятельно третье уравнение, зависящее только от а,b и c (и не зависящее от x и y), приходим к несложной системе целых алгебраических уравнений
Система имеет единственное неотрицательное решение 
Выполняя обратную подстановку, находим решения: 
9.Выше мы рассматривали различные способы рационализации алгебраических уравнений. В общем случае решаемое уравнение или неравенство с радикалами может не иметь алгебраический вид. В этой ситуации также могут быть использованы рационализирующие подстановки. Например, в следующей задаче двойная подстановка преобразует неравенство показательного вида с радикалами в целое алгебраическое неравенство.
Пример №255.
При всех натуральных значениях n решить неравенство
Решение:
Пусть 
Тогда неравенство примет вид 
Поделим на 
и обозначим 
1) Если n — чётное, то 
Поэтому
Возводя неравенство в n -ю степень, получим
2) Если n — нечётное, то
Решая это неравенство, получаем 
Осталось объединить полученные решения.
Смысл всех указанных выше подстановок состоит в том, что они позволяют рационализировать уравнение, избавить его от присутствия радикалов и, следовательно, тем самым сделать его проще для дальнейшего решения.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
