Оглавление:
Метод замены множителей на множители равных знаков
При использовании обобщённого метода интервалов для решения неравенств полезным может оказаться следующий подход, называемый в данной книге методом замены множителей на множители равных знаков. Некоторые авторы, например, Дорофеев Г.В., относят этот метод к разновидности обобщённого метода интервалов, а другие, скажем, Моденов В.П., называют методом логических схем равносильных высказываний. Рассмотрим суть этого подхода.
Пусть, например, решается неравенство вида
(количество сомножителей 
в числителе
и знаменателе дроби, а также знак неравенства могут быть произвольными). Пусть для одного из сомножителей (ради определённости будем считать, что это
сомножитель 
) нашлась такая функция 
, определённая на ОДЗ неравенства, что она обращается в нуль одновременно с , а при остальных x из ОДЗ имеет тот же знак, что и . В остальном, вообще говоря, функция может иметь любой вид. Тогда исходное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству
(сомножитель заменили сомножителем того же знака). Приведём наиболее типичные примеры использования этого подхода.
1) Если в неравенство (1) входит множитель вида 
, то его можно заменить в целях упрощения решения задачи на множитель вида 
, не содержащий модулей, так как 
знаки выражений 
совпадают (обращаются в нуль они также одновременно).
2) Множитель логарифмического вида 
на ОДЗ задачи заменяют эквивалентным ему по знаку, но более простым множителем нелогарифмического вида 
. Множитель 
в виде разности двух логарифмов по одному основанию 
заменяют на ОДЗ (т.е. при дополнительном условии 
произведением вида 
Поскольку в результате применения этого метода трансцендентное неравенство (логарифмическое, показательное и т.д.) часто приводится к рациональному виду, то его в этих случаях относят к методам рационализации.
Пример №215.
Решить неравенство
Решение:
Входящие в данное неравенство логарифмы определены при 
. Преобразуем числитель дроби
или
Теперь, помня об ограничении , заменим и числитель, и знаменатель на более простые выражения алгебраического вида (эквивалентного знака), перейдя к равносильному неравенству
Разложив знаменатель на множители и упростив, приходим к неравенству
откуда с учётом ОДЗ находим ответ: 
3) Множитель показательно-степенного вида 
на ОДЗ неравенства (т.е. при дополнительном условии 
также заменяют произведением
Пример №216.
Решить неравенство
Решение:
Приведём неравенство к виду
и, применяя указанный выше приём, перейдём к эквивалентному ему дробно-рациональному алгебраическому неравенству:
Ответ:
4) Множитель вида 
можно заменить при условии 
множителем 
а множитель вида 
соответственно множителем 
(при условии 
).
5) Множитель иррационального вида 
заменяют при условии 
рациональным выражением 
, а множитель вида 
при любых 
и 
соответственно разностью 
и так далее.
Пример №217.
Решить неравенство
Решение:
ОДЗ: 
Выполним равносильные преобразования:
С учётом ОДЗ приходим к ответу: 
Применение этого метода на практике часто позволяет существенно упростить решение неравенства и сэкономить время. Важно лишь отслеживать равносильность этих переходов.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
