Оглавление:
Тригонометрические подстановки
Известный приём использования различных тригонометрических подстановок применим и к целым алгебраическим уравнениям.
Пример №198.
Сколько корней на отрезке [0,1] имеет уравнение 
Решение:
Поскольку, по условию,
, то для любого такого x существует единственное 
такое, что 
. С другой стороны, каждому по формуле ставится в соответствие единственное 
. Это означает, что между множествами значений x и t (отрезками 
и 
соответственно) установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому исходная задача сводится данной тригонометрической подстановкой 
к равносильной задаче определения количества решений тригонометрического уравнения
на отрезке . Итак,
Чтобы решить полученное уравнение, его следует умножить на sin t. Проверим предварительно, будут ли значения неизвестной t, удовлетворяющие равенству sin t = 0 , решениями уравнения. Если sin t = 0 , то
Следовательно, левая часть уравнения (1) принимает при таких t значения 
, а правая равна 1. Это означает, что все корни уравнения
такие, что sin t = 0, будут посторонними корнями и в ответ не войдут. Несколько раз применяя формулу синуса двойного аргумента, приходим к уравнению
решая которое, находим две серии
Из первой серии в отрезок попадают два значения 
и 
, а из второй серии — значения 
и 
. Но 
, поэтому остаётся три корня.
Ответ: уравнение имеет на [0,1] ровно три корня.
Замечание. Задачу можно было решить также, используя тригонометрическую замену 
, где 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
