Целая, дробная части действительного числа и их свойства

Целая, дробная части действительного числа и их свойства

Теперь, когда сформулировано понятие действительного числа, можно ввести ещё два связанных между собой понятия, характеризующих данное действительное число — его целую и дробную части. Определения целой и дробной частей имеют словесно-описательную форму.

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x, и обозначается [х]. Дробной частью действительного числа x называется разность между самим числом и его целой частью, т.е. x -[х], и обозначается {x}. Например: [5,12] = 5, {5,12} = 0,12; [—5,12] = —6, {-5,12}= 0,88; ,

Из определений целой и дробной частей вытекают их основные свойства. Рассмотрим их. Пусть x ,у — произвольные действительные числа, n — любое целое число. Тогда справедливы следующие утверждения.

Свойства целой и дробной частей

1. Целая часть любого действительного числа x есть целое число:

2. Любое действительное число x можно представить в виде суммы его целой и дробной частей, т.е.

3. Любое действительное число x всегда заключено между своей целой частью (с которой может совпадать) и числом, на единицу большим целой части, т.е.

4. Дробная часть любого действительного числа x может принимать значения в пределах от 0 (наименьшее возможное значение) до 1 (это значение не достигается ни при каком x), т.е.

5. Любое целое число n можно выносить (или вносить) из-под знака целой части, т.е.

Добавление (или вычитание) к действительному числу x произвольного целого числа n не изменяет значения его дробной части, т.е.

6. Целая часть суммы двух действительных чисел не меньше суммы их целых частей, т.е.

Докажем, например, последнее свойство:

Посколькуто и, следовательно, Исполь-зуя последнюю оценку, получаем окончательно необходимый результат:

7. Дробная часть суммы двух действительных чисел не больше суммы их дробных частей, т.е.

Доказательство. Воспользуемся предыдущим свойством:

Для построения графиков функций следует разбить всю числовую прямую на полуинтервалы вида где n — произвольное целое число, и затем рассмотреть поочерёдно каждый из этих промежутков. Это делается потому, что на каждом из указанных промежутков можно однозначно раскрыть целую и дробную части, выписав их значения в явном виде.

Так, на полуинтервалах вида имеем: , поэтому график функции на этих участках совпадает с горизонтальной прямой у = n .

Далее, на рассматриваемом промежутке , что означает, что график функции у = {x } совпадает с прямой у = x — n . Объединяя построенные участки графиков, получаем оба искомых графика.

Видно, что обе функции терпят разрывы в виде конечных скачков значений при целочисленных значениях аргумента x. Дробная часть к тому же является периодической функцией с периодом, равным единице. Данные функции не относят к классу элементарных функций.

Заметим, что данный подход, основанный на разбиении числовой прямой на отдельные промежутки, на каждом из которых значения целой и дробной частей можно посчитать, используется и при решении других задач на эту тему, в частности при решении уравнений. В экзаменационных вариантах задачи на свойства целой и дробной частей встречаются достаточно редко и в основном на математических факультетах, однако надо быть готовым к решению задач такого рода.

Пример №101.

Решить неравенство

Решение:

Заменим x в правой части неравенства на сумму [х] + {х} :

Приведём неравенство к виду Расклады-вая множители, получаем Поскольку , то неравенство оказывается равносильно неравенству решая которые находим

Ответ.

Пример №102.

Решить уравнение { 2х} = x.

Решение:

1-й способ. Заметим, что левая часть уравнения {2х} как величина дробной части может принимать значения, не выходящие за пределы полуинтервала [0,l). Следовательно, и правая часть уравнения, т.е. x, может принимать значения в этих же пределах. Итак, ОДЗ: . Разобьём ОДЗ на два промежутка числом 1/2 и на каждом из них раскроем дробную часть и решим уравнение.

1) Пусть .Тогда , следовательно, и . Поэтому на рассматриваемом промежутке уравнение примет вид , откуда находим . Поскольку найденное значение принадлежит , то, следова-тельно, будет решением.

2) Пусть теперь . Тогда , а значит, и Поэтому на данном промежутке уравнение примет вид , откуда находим . Однако это значение не принадлежит рассматриваемому полуинтервалу и поэтому не будет решением.

2-й способ (графический). Построим в одной системе координат графики функций , стоящих в левой и правой частях уравнения. Количество решений уравнения при этом равно количеству точек пересечения этих

графиков, а сами решения являются абсциссами точек пересечения графиков. Очевидно, что графики пересекаются в единственной точке — начале координат. Проверкой убеждаемся, что число x = 0 действительно является решением данного уравнения (проверку сделать необходимо, поскольку графический способ решения, вообще говоря, неточный).

Пример №103.

Сколько решений имеет уравнение

x + [100x]=100x?

Решение:

Перепишем уравнение в виде x = {100х} . Эту задачу можно решить графически. Рассмотрим другой способ. Так как выражение {100x} может принимать значения лишь из промежутка [0,1), то и . Но тогда x можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Подставим в исходное уравнение:

Таким образом, любое число вида удовлетворяет уравнению. Найдём, сколько всего существует таких чисел. Цифра может принимать 10 значений (от 0 до 9), при этом для каждого такого значения вторая цифра также может принимать 10 значений (от 0 до 9). Всего имеем 10×10 возможностей. Но надо исключить случай x = 0,999… = 1. Ответ: 99 решений.

Пример №104.

Найти целую часть числа

Решение:

Для решения задачи достаточно оценить, между какими последовательными целыми числами расположено данное число. Обозначим это число через . Оценка снизу находится несложно, поскольку очевидно, что при любом натуральном n имеем Найдём оценку сверху для . Для этого заменим в выражении для последний радикал на :

Последовательно упрощая выражение в правой части, получим . Итак, справедливо , откуда

Пример №105.

Решить уравнение

Решение:

Разобьём множество всех действительных значений неизвестной x на промежутки, в которых можно однозначно раскрыть целую часть:, где . Решим задачу на каждом из этих промежутков. Так как при имеем , то подставим в исходное уравнение, и оно примет вид . Учтём, что найденное значение x будет решением уравнения в том и только в том случае, если оно принадлежит рассматриваемому промежутку, т.е. . Решая систему

в целых числах, находим , т.е. . Тогда

Замечание. Задачу можно было решить, используя графический подход.

Пример №106.

Решить уравнение

Решение:

Положим тогда в силу уравнения и Отсюда имеем

Дальнейшее решение зависит от того, что больше: x —1 или (х + 2)/2. Рассмотрим два случая.

1) Пусть , т.е. . В этом случае имеем:

Получаем систему неравенств с двумя неизвестными, одна из которых целочисленна:

Отсюда Следовательно, Из неравенств и находим, что . Последнему неравенству удовлетворяет только одно целое число

Подставляя в неравенства (1), определяем

2) Пусть В этом случае получаем

Аналогично первому случаю находим . Объединяя полученные решения, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .

Пример №107.

Решить уравнение

Решение:

Сделаем замену Переходя к новой переменной, получим уравнение

с целочисленной неизвестной у . Раскрывая целую часть по определению, получаем двойное неравенство

откуда с учётом целочисленности у находим у = 0 или у = 1. Им отвечают значения x = 7/15 и x = 4/5.

Ответ:

Пример №108.

Найти все решения уравнения

Решение:

Упростим уравнение при помощи свойств целой части. Так как то уравнение принимает вид

Решим его стандартным методом. Чтобы раскрыть обе целые части, разобьём множество всех действительных x на полуинтервалы и где

1) Если то (так как , и уравнение на этом промежутке принимает вид — верно при любом , т.е. при любом целом n любое удовлетворяет уравнению.

2) Если же то а (так как и тогда уравнение примет вид неверно ни при каком , т.е. ни одно значение x из рассматриваемого промежутка не удовлетворяет уравнению.

Ответ:

Пример №109.

Найти все решения уравнения {х} = 1/х.

Решение:

ОДЗ: . Перепишем уравнение в виде

Пусть , где . Тогда , и уравнение на указанном промежутке примет вид

При этом , не удовлетворяет условию ни при каком , а , удовлетворяет ему при

Ответ:

Пример №110.

Найти все натуральные значения n, удовлетворяющие уравнению

где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа x.

Решение:

Пусть тогда

Значит,

Но тогда , поэтому, в силу уравнения,

Отсюда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Сравнение действительных чисел в математике с примерами решения

Алгебраические и трансцендентные числа в математике с примером решения

Степени с натуральными и целыми показателями и их свойства

Арифметические и алгебраические корни n-й степени