Оглавление:
Иррациональные и действительные числа
Покажем, что множество чисел не исчерпывается рациональными числами. В самом деле, возьмём прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. По теореме Пифагора, его гипотенуза равна 
. Докажем, что это число не является рациональным. Приведём старинное доказательство методом «от противного».
Предположим, от противного, что есть рациональное число, тогда его можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби 
, где 
. Тогда 
т.е.
Левая часть последнего равенства кратна 
, следовательно, и 
делится на . Покажем, что тогда 
должно делиться на . Действительно, если бы 
, но тогда не делилось бы на . Следовательно, 
Подставляя в (1) вместо число 
, получим: 
. Отсюда следует, что так как правая часть делится на , то и 
должно делиться на , следовательно, 
. Но тогда дробь 
сократима на . Полученное противорсчие с несократимостью дроби 
доказывает нерациональность числа.
Таким образом, существуют числа, не являющиеся рациональными, которые нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Расширим множество чисел, вводя понятие иррационального числа.
Иррациональным называется число, представимое в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Название «иррациональный» происходит от латинского ‘irrational’ — безрассудный, не определяемый отношением. Специального обозначения для множества иррациональных чисел (их, как и рациональных чисел, бесконечно много) не существует.
Открытие иррациональных чисел приписывают пифагорейцам (V век до нашей эры), которые доказали, что гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с его катетом, т.е. установили иррациональность числа . Однако это открытие противоречило всей пифагорейской философии, в основу которой были положены только натуральные и рациональные числа. Поэтому оно сохранялось в строжайшей тайне. Существует легенда, повествующая о том, что пифагореец
Гиппас, раскрывший людям секрет иррациональности , погиб в море по воле разгневанных богов.
Примеры иррациональных чисел: 
Для решения экзаменационных задач обычно достаточно знать, что
Львовский 33-летний профессор-нейрохирург Андрей Тихонович Слюсарчук публично продемонстрировал, что помнит миллион цифр после запятой у числа 
. Это новый мировой рекорд (предыдущее достижение было зафиксировано у 59-летнего японца Тиби Акири Харагучи, который запомнил 83431 знак числа ). Рекорд поддался со второй попытки. Говорят, миллион цифр из книги на 250 страниц Андрей запоминал 6 дней. Достижение занесено в книгу рекордов Украины и уже заявлено для регистрации в Книгу рекордов Гиннеса. Новая задача для Слюсарчука — запомнить уже не один, а 5 миллионов цифр числа (газета «Московский комсомолец» от 27 марта 2006 года).
Если объединить непересекающиеся множества рациональных и иррациональных чисел, то полученное бесконечное множество называется множеством действительных (вещественных) чисел и обозначается буквой R (по-английски ‘real’ — действительный, реальный). То есть действительные числа -это числа, представимые бесконечными десятичными дробями. Строгая теория действительных чисел была построена математиками лишь в XIX веке (Больцано, Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд и др.). Из определения множества действительных чисел следует, что 
Пример №85.
Доказать, что число 
не является рациональным числом.
Доказательство (методом от противного). Предположим, что 
есть рациональное число, тогда оно представимо в виде 
, где 
— взаимно простые натуральные числа. Перепишем равенство в виде 
и возведем его в 4-ю степень: 
. Так как левая часть кратна 5, то и 
, а значит, р кратно 5, т.е. 
. Подставив в равенство 
вместо р выражение
и сократив на 5, получим новое равенство 
, откуда следует, что 
. В результате оба числа р и q оказались кратны 5, что противоречит их взаимной простоте. Следовательно, предположение о рациональности числа было сделано неверно, что доказывает иррациональность этого числа.
Пример №86.
Доказать иррациональность числа 
Решение:
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что это рациональное число, тогда его можно представить в виде обыкновенной дроби:
Перепишем равенство в виде 
и возведём его в куб:
где 
— рациональные числа и поэтому их отношение 
также рационально. Получили противоречие, так как -иррациональное число (доказано выше). Значит, предположение о рациональности числа 
было неверно и данное число иррационально, что и требовалось доказать.
Пример №87.
Доказать иррациональность числа 
.
Решение:
Воспользуемся также методом от противного. Предположим, что это рациональное число. Складывая два очевидных тождества
и
получим вспомогательное тождество
Подставим в это тождество вместо к последовательно числа 1, 2, 3,…,
Видим, что если рационален, то рациональным будет и 
, а тогда и 
и т.д. Таким образом, придём к тому, что 
также будет рационален, поскольку выражается через рациональные числа посредством арифметических операций умножения и вычитания, не выводящих, как известно, за пределы множества рациональных чисел. Пришли к противоречию с тем фактом, что, с другой стороны, 
— иррациональное число. Это противоречие и доказывает утверждение об иррациональности
Пример №88.
Доказать иррациональность числа 
Решение:
Предположим от противного, что 
, но тогда, используя формулы 
и 
, получим, что числа 
, 
также будут рациональны. Покажем, что в действительно-сти число иррационально (полученное противоречие будет доказывать иррациональность). Вычислим его значение. Известно, что 
(если вам не знаком этот факт, то предварительно докажите его), тогда 
— иррационально.
Пример №89.
Доказать иррациональность числа 
Решение:
Предположим, от противного, что данное число рационально. Тогда, по определению рационального числа, его можно представить в виде несократимой обыкновенной дроби 
, где 
. Последовательно преобразовывая равенство с помощью свойств логарифмов, приведём его к виду
В последнем равенстве левая часть кратна 3, а правая — нет, что невозможно. Полученное противоречие говорит о том, что сделанное ранее предположение о рациональности данного числа было неверным, а значит, число иррационально.
Пример №90.
Существуют ли рациональные числа x,y,u,v, удовлетворяющие уравнению
Решение:
Убедимся в справедливости следующих двух утверждений.
1.Если a,b,c,d -рациональный и 
, то 
и 
.
Действительно, так как 
, то или , следовательно, , или 
, тогда 
, что невозможно, потому что — иррациональное число, а 
— число рациональное.
2.Если а,b — рациональные числа, то 
, где числа А, В — рациональные.
Справедливость данного утверждения следует из следующей выкладки:
Пусть теперь x,y,u,v — рациональные числа, и выполняется равенство
Тогда согласно утверждениям 1 и 2 имеем
однако последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть неотрицательна, а число 
Ответ: такие числа не существуют.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
