Оглавление:
Метод замены переменных
Пример №51.
Доказать, что произведение четырёх последовательных целых чисел в сумме с 1 даёт полный квадрат.
Решение:
По условию, требуется доказать, что выражение
является квадратом целого числа. Сгруппируем сомножители следующим образом: 
и положим
Тогда
Выполняя обратную подстановку, приходим к ответу.
Ответ: 
Рассмотрим, далее, пример, в котором последовательно используются сразу несколько приёмов: замена переменной, одна из формул сокращённого умножения (см. п. 1.3.) и анализ остатков.
Пример №52.
Доказать, что для любого натурального 
, 
, число 
делится нацело на 
Доказательство. Обозначим 
Требуется доказать, что для любого натурального 
число 
делится нацело на 
. Воспользуемся формулой сокращённого умножения
Первый из двух сомножителей делится на. Покажем, что и второй сомножитель кратен . Действительно, во вторых скобках стоит сумма чисел, делящихся на с остатком 1. При сложении таких чисел остатки складываются, поэтому их сумма будет делиться на с остатком , т.е. с остатком 0. Утверждение доказано.
В уравнениях, решаемых в целых числах, также иногда целесообразна замена переменных.
Пример №53.
Найти все целочисленные решения уравнения 
Решение:
Выделяя полные квадраты, приведём уравнение к виду
Положим 
тогда имеем: 
Отсюда получаем оценки: 
(с учётом целочисленности 
Заметим, что в силу симметричности наряду с парами (u;v) решениями уравнения (*) будут пары (u;—v), (— u;v) и (—u;—v). Поэтому найдём вначале лишь неотрицательные целые значения u и v :
Итак, решения уравнения (*):
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим ответ.
Ответ: 
Пример №54.
Решить в натуральных числах уравнение
Решение:
Поскольку правая часть равенства 
положительна, то 
а значит, можно представить 
где 
Такая подстановка позволяет свести уравнение третьей степени относительно обеих переменных к более простому квадратному уравнению относительно l. Действительно, подставляя выражение l+n в исходное уравнение, получим квадратное уравнение 
Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо и достаточно неотрицательности его дискриминанта:
Для решения последнего неравенства рассмотрим функцию 
, её график — кубическая парабола. Имеем: 
следовательно, функция возрастает при натуральных значениях аргумента. Так как
то решениями неравенства 
будут 
. Проверка показывает, что только при n = 1 дискриминант 
является полным квадратом:
Ответ. 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
