Оглавление:
Определенный интеграл
Определение 1. Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем на n частичных отрезков точками 
и обозначим это разбиение 
. Пусть 
— длина k — ого частичного отрезка 
.
Число 
— диаметр разбиения. Выбираем на каждом отрезке 
точку 
и составим сумму
называется n — й интегральной суммой Римана.
Функция 
называется интегрируемой по Риману, если 
, то есть 
такого, что 
и 
набора точек 
При этом 
называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается 
. Таким образом
Будем считать, что 
.
Задача №47
Задача №48
Пусть функция непрерывна на отрезке , 
. Рассмотрим фигуру Ф на плоскости:
— криволинейную трапецию:
Рис.1 
Пусть 
— ее площадь. Из (1) следует, что 
равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями 
и высотами 
:
Рис. 2. Интегральная сумма 
Тогда 
.
Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости функции).
Пусть 
— интегрируема на отрезке 
, тогда 
— ограничена на .
Доказательство. Предположим, что 
— неограничена на . Пусть 
и пусть 
. Из (2) следует, что 3 8 — 8(e), такое что
для любой 
у которой 
, то есть эти интегральные суммы — ограничены. Причем неравенство (4) выполнено при любом выборе точек 
из соответствующих отрезков. Пусть 
— один из таких наборов точек. Так как — неограничена на , то она неограниченна по крайней мере на одном из частичных отрезков. Пусть, например, это будет отрезок 
. Рассмотрим наборы 
где 
, тогда, так как 
-фиксированы, то, начиная с какого-то номера 
, суммы (1) будут выходить за пределы промежутка (4). Противоречие.
Замечание. Условие теоремы 1 необходимо, но не достаточно для интегрируемости функции.
Задача №49
Рассмотрим функцию Дирихле
(см. пример 3 §5) на отрезке .
Тогда 
сумма 
, если числа 
— иррациональные, и 
, если 
— рациональные. Поэтому 
— не существует и функция 
— неинтегрируема.
Определение 2. Пусть функция определена на отрезке и ограничена па этом отрезке. Пусть 
— разбиение отрезка .
Пусть 
, тогда
называются нижней и верхней суммой Дарбу для функции .
Рис.3.Нижняя сумма Дарбу 
.
Рис.4.Верхняя сумма Дарбу 
.
Суммы Дарбу являются функциями, определенными на множестве всех разбиений 
отрезка 
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
