Оглавление:
Интегрирование рациональных дробей
Определение 1. Рациональной дробью называется произвольная функция вида:
— многочлены степени n и m). Дробь 
— правильная, если 
.
Если 
, то 
— неправильная дробь.
Элементарными рациональными дробями называются дроби вида:
Интегрирование элементарных дробей.
Найдем рекуррентную формулу для вычисления 
.
Пусть 
.
Вычисление интегралов 
сведется к случаям 3-5, если выделить полный квадрат в трехчлене 
и сделать подстановку
Задача №26
Задача №27
Задача №28
Теорема 1. Рассмотрим правильную рациональную дробь:
Дробь можно единственным образом разложить в сумму элементарных дробей:
Коэффициенты 
находятся, если правую часть равенства (2) привести к общему знаменателю и приравнять числители правой и левой части. Если дробь 
— неправильная, то делят 
уголком и представляют дробь в виде:
где 
— частное, — остаток.
Задача №29
Дробь 
— неправильная. По формуле (3):
По формуле (2):
Для того, чтобы равенство (4) выполнялось 
необходимо, чтобы равнялись друг другу коэффициенты при одинаковых степенях х.
Решив систему уравнений (5), получим:
Если корни знаменателя 
— действительны и имеют кратности 1, то коэффициенты в формуле (2) можно найти более простым способом.
Задача №30
Подставляя в правую и левую части равенства конкретные значения х, получим:
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
