Оглавление:
Неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть 
— промежуток действительной оси. Функция 
называется первообразной для функции 
на промежутке , если 
— дифференцируема на и
Задача №12
a) 
— первообразная для 
.
б) 
— первообразная для 
:
на любом промежутке из области определения функции 
.
в) 
— первообразная для 
. Действительно,
и 
— на любом промежутке, не содержащем точку 0.
Упражнение 1. Найти первообразную для функций:
Упражнение 2. 
— единичная функция Хевисайда (см. пример 4 §5). Найти первообразные для :
1) на промежутке (0, 2); 2) на промежутке (- 2, 0); 3) на промежутке (- 2; 2).
Упражнение 3. 
Найти первоооразные для на промежутках (0,2); (- 2, 0); (- 2; 2).
Замечание. Первообразная функция определена не однозначно. А именно, 
, где С — любая константа также будет первообразной для 
.
В общем случае верна теорема:
Теорема 1. Две дифференцируемые на промежутке функции 
и 
будут первообразными для одной и той же функции 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Необходимость. 
. Докажем, что они отличаются на константу. Пусть 
.
Тогда 
. Пусть 
. По теореме Лагранжа (теорема 4 § 12):
Но 
, поэтому 
, то есть 
, что и требовалось.
Достаточность. 
. Обозначим 
. Тогда 
, то есть 
— первообразные для одной и той же функции 
, что и требовалось доказать.
Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке 
называется неопределенным интегралом от функции 
и обозначается 
Если — одна из первообразных, то , согласно теореме 1,
Свойства неопределенного интеграла.
1. Если 
— дифференцируема на , то 
,
или 
.
здесь под записью 
подразумеваем одну из первообразных.
3. Если имеет первообразную на , то 
также имеет первообразную на и ,если 
4. Если 
имеют первообразную на , тогда 
также имеет первообразную на и:
Свойства 1 — 4 легко выводятся из определения первообразной и интеграла и соответствующих свойств производной.
Докажем, например, свойство 3.
Пусть 
— первообразная для на промежутке . Тогда 
то есть 
— первообразная для 
что и требовалось доказать.
Из определений 1,2 следует, что интегрирование — действие обратное дифференцированию (находится функция, производная которой равна данной).
Таблица интегралов
При вычислении интегралов в простых случаях применяют свойства 1 — 4.
Задача №13
Задача №14
Теорема 1. Если 
— непрерывна на промежутке 
, то для нее 
первообразная функция 
на этом промежутке.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
