Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение 7.1. Функция имеет в точке локальный максимум (локальный минимум), если такая, что .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них — локальными экстремумами функции.

Если функция определена на отрезке и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.

Определение 7.2. Точка из области определения функции называется критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль или не существует.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция определена на в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует конечная производная , то .

Доказательство.

Пусть в точке функция имеет локальный минимум, т. е. . Тогда в силу дифференцируемости функции в точке при :

откуда

при :

откуда .

Существование производной возможно лишь при , откуда . ■

Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что , так как односторонние производные па концах отрезка могут быть отличны от нуля.

Геометрический смысл теоремы Ферма. Если -точка локального экстремума функции и существует конечная производная , то касательная, проведенная к графику функции в точке , параллельна оси .

Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема для ;

3) .

Тогда найдется точка , такая, что .

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция на отрезке , то ;
2. Пусть . По условию непрерывна па отрезке и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наибольшего М и наименьшего т значений.

Так как , то значения не достигаются одновременно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке . Согласно теореме Ферма ■

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка обязательно найдется хотя бы одна точка с, такая, что касательная к графику функции в точке параллельна оси .

Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции и , и пусть:

1) они определены и непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы для ;

3) .

Тогда найдется точка такая, что

Доказательство.

Очевидно, что , так как в противном случае функция удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка с такая, что , а это противоречит условию на интервале .

Введем вспомогательную функцию

Функция :

1) определена и непрерывна на ;

2) , т. е. существует на интервале ;

3)

Следовательно, по теореме Ролля, для функции найдется точка с такая, что . Тогда

откуда

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Тогда найдется точка такая, что

или

Доказательство.

Рассмотрим наряду с функцией функцию . Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда

Из последнего равенства легко получается формула (7.1). ■

Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

где — некоторое число, при котором .

Если в (7.2) принять , то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем.

При выполнении условий теоремы на интервале найдется точка с такая, что касательная к графику функции в точке

будет параллельна секущей, проходящей через точки .

Следствие 7.1. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Если , , то функция .

Доказательство.

Пусть — любая фиксированная точка из интервала -любая точка из . К отрезку применим теорему Лагранжа для функции . Так как , то для . Следовательно . ■

Следствие 7.2. Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на . Тогда

Доказательство.

Так как функция непрерывна и дифференцируема на согласно условию, то

Согласно следствию 7.1, . ■

Следствие 7.3. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема па интервале . Тогда если , то функция строго монотонно возрастает на ; если — строго монотонно убывает на .

Доказательство.

Пусть . Рассмотрим такие, что .

По теореме Лагранжа , где . Так как , то . Тогда , откуда при .
Таким образом, при функция строго монотонно возрастает на .

Случай доказывается аналогично. ■

Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:

Предмет математический анализ

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях с примерами решения

Дифференциалы высших порядков: вывод

Правило Лопиталя с примерами решения

Исследование функции с помощью производных: теорема и пример решения