Оглавление:
Производная сложной функции
Теорема 5.3. Если функция 
дифференцируема в точке 
, а функция 
дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в точке и
Доказательство.
Так как функция 
дифференцируема в точке 
, то приращение этой функции в точке может быть записано в виде
где 
. Разделим равенство (5.5) на 
. получим
Равенство (5.6) справедливо для любых достаточно малых 
. Возьмем равным приращению функции 
, соответствующему приращению 
аргумента 
в точке 
, и устремим в этом равенстве к нулю. Так как по условию функция имеет в точке производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывности, 
при 
. Но тогда и 
также стремится к нулю, т. е. имеем
В силу соотношения (5.7) существует предел правой части равенства (5.6) при 
, равный 
. Значит, существует предел при и левой части равенства (5.6), который, по определению производной, равен производной сложной функции 
в точке . Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции и установлена формула (5.4). ■
Замечание 5.2. Формула (5.4) может быть усложнена. Например, если 
и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то
Пример 5.6.
Найти производную функции 
.
Решение:
Данную функцию можно представить в виде 
, где 
. Тогда, по формуле (5.4), получаем
Заменяя на 
, окончательно получим 
.
Ответ: .
Пример 5.7.
Найти производную функции 
.
Решение:
Данную функцию можно представить в виде 
, где 
а 
. Используя формулу (5.8), получаем
Ответ: 
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
