Каток сплошной однородный цилиндр. Определить — скорость тела

Курсовая работа Д2

Дано:

Каток 2 сплошной однородный цилиндр. Определить — скорость тела 1 (рис. Д2).

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

где и — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

— сумма работ внешних сил, приложенных к системе; — сумма работ внутренних сил, приложенных к системе.

Данная система неизменяемая, поэтому

Так как в начальный момент система находилась в состоянии покоя, то

и уравнение (1) примет вид

Найдем кинетическую энергию системы в конечном ее положении. Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

Кинетическая энергия ступенчатого блока 3, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где — момент инерции блока относительно оси вращения; ; — угловая скорость ступенчатого блока.

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение:

где — скорость центра масс катка;

— момент инерции катка относительно его центральной оси;

— угловая скорость катка.

Выразим скорость , угловые скорости через скорость груза 1 (рис. Д2 а).

Скорость точек обода ступенчатого блока равна скорости движения сходящей с барабана нити (нить нерастяжима). Следовательно,

Так как каток 2 катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка находится в точке соприкосновения его с неподвижной поверхностью. Поэтому

При подстановке найденных зависимостей в уравнения кинетических энергий тел получим

Найдем сумму работ всех сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. Д2 б)

На груз 1 действуют силы: вес ; нормальная реакция ; сила трения , направленная противоположно скорости груза 1; сила .

Силами, действующими на ступенчатый блок 3, являются вес ; реакция подшипников в точке 0 — и момент сил сопротивления . К катку 2 приложены силы: вес катка ; сила трения , препятствующая скольжению катка; нормальная реакция . Работа силы

Работа силы

Работа силы

Для определения составим дифференциальное уравнение движения груза 1 в проекции на ось ; учитывая, что проекция ускорения груза , получим:

тогда

Работа момента сил сопротивления

Здесь — угловое перемещение ступенчатого блока 3. Выразим угол поворота через перемещение груза 1 , тогда

Работа силы тяжести катка

Перемещение также выразим через перемещение .

т.к. угол меду силой и перемещением точки ее приложения равен 90°, a

, т. к. они приложены к неподвижной точке.

, т. к. эти силы приложены к мгновенному центру скоростей.

Сумма работ всех сил, приложенных к рассматриваемой системе:

Приравнивая значения и , получим:

откуда

Ответ:

Эта курсовая работа взята со страницы готовых курсовых работ по теоретической механике:

Готовые курсовые работы по теоретической механике

Возможно эти курсовые работы будут вам полезны:

Курсовая работа С 3 Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2…6, соединенных друг с другом (в узлах и ) и с неподвижными опорами шарнирами (прил. 3, рис. С 3). В узлах и приложены силы и .

Курсовая работа С 3.1 Две однородные прямоугольные плиты жестко соединены под прямым углом и закреплены в точке сферическим шарниром, в точке — цилиндрическим шарниром и невесомым стержнем 1. Стержень соединен с плитой и опорой шарниром. Вес большей плиты , меньшей — .

Курсовая работа ДЗ Дано: массы тел соответственно равны Закон движения тела 3 осуществляется по закону ; см. рис. ДЗ. Найти перемещение призмы 1 по идеально гладкой плоскости. В начальный момент система находилась в покое.

Курсовая работа С1 Жесткая рама имеет в точке неподвижный шарнир, а в точке шарнирно-подвижную опору. На раму действуют распределенная нагрузка интенсивности , пара сил с моментом , сосредоточенные силы . При расчете принять .