Задача С6. В цилиндре под двумя одинаковыми тонкими поршнями находится сжатый идеальный газ

Задача С6. В цилиндре под двумя одинаковыми тонкими поршнями находится сжатый идеальный газ. Расстояния от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего одинаковы и равны h. Давление воздуха под верхним поршнем вдвое больше атмосферного. Вся система находится в равновесии. На верхний поршень надавливают так, что он опускается на место нижнего, сжимая газ. Каким станет расстояние х от нижнего поршня до дна сосуда? Атмосферное давление постоянно.

Обозначим h расстояние от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего перед надавливанием на верхний поршень, — атмосферное давление, х — расстояние от нижнего поршня до дна сосуда после надавливания, — давление воздуха под верхним поршнем до надавливания, — давление воздуха под верхним поршнем после надавливания, — объем воздуха под верхним поршнем до надавливания, — объем воздуха под верхним поршнем после надавливания, S — площадь основания поршней и дна цилиндра, — давление поршня, — давление силы, придавившей поршень, — давление воздуха под нижним поршнем до надавливания на верхний, — давление воздуха под нижним поршнем после надавливания на верхний, — объем воздуха под нижним поршнем после надавливания.

Решение:

Поскольку об изменении температуры нам ничего не сказано, мы имеем право считать процесс сжатия газа изотермическим. Значит, здесь можно применить закон Бойля — Мариотта, записав его применительно к газу сначала под верхним поршнем, потом под нижним (рис. 181, а и б).

Закон Бойля — Мариотта применительно к газу под верхним поршнем будет выглядеть так:

Давление газа под верхним поршнем при равновесии равно сумме атмосферного давления и давления поршня :

Но по условию задачи , поэтому

Объем воздуха под верхним поршнем вначале был равен:

После опускания верхнего поршня на место нижнего газ под ними сжался и давление под верхним поршнем стало . Теперь оно равно сумме давлений атмосферы , поршня и некоторой силы, придавившей поршень, :

Новый объем воздуха под верхним поршнем станет равен:

Подставим равенства (3), (4) и (5) в формулу (1):

или после сокращения S

Теперь перейдем к газу под нижним поршнем. Запишем применительно к нему закон Бойля — Мариотта:

Давление газа под нижним поршнем до опускания верхнего было равно сумме давления газа под верхним поршнем и давления самого нижнего поршня :

согласно условию задачи и равенству (2).

Поэтому

Давление газа под нижним поршнем после его сжатия стало равно сумме давления газа под верхним поршнем и давления самого нижнего поршня :

согласно (2) и (4).

Новый объем воздуха под нижним поршнем станет равен:

Подставим правые части равенств (8), (3), (9) и (10) в формулу (7):

Теперь нам предстоит решить систему уравнений (6) и (11) относительно искомого расстояния х, исключив из них неизвестные давления. Давайте в этих уравнениях сначала раскроем скобки и сделаем приведение подобных членов, — может, мы их при этом немного упростим. Начнем с уравнения (6):

Теперь проделаем то же самое с уравнением (11):

Если теперь разделить левые и правые части уравнений (12) и (13) друг на друга, то все неизвестные давления сократятся и мы сумеем найти расстояние х:

Отсюда .

Ответ: .

Эта задача взята со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:

Задачи по физике с решением

Возможно вам будут полезны эти задачи:

Задача С4. Идеальный одноатомный газ расширяется (рис. 168) сначала изобарно (участок 1-2), а потом адиабатно (участок 2-3 графика). При адиабатном расширении газ совершил работу 27 кДж. Температура газа в состоянии 1 равна температуре в состоянии 3. Найти работу расширения газа в процессе 1 -2-3.

Задача С5. Идеальный одноатомный газ, находящийся в теплоизолированном сосуде объемом Vпод давлениемр, заперт поршнем массой М (рис. 169). Справа поршень удерживают упоры 1 и 2, не давая газу расширяться. В поршень попадает пуля массой пг, летящая горизонтально со скоростью v, и застревает в нем. Считая, что всю механическую энергию поршень передаст газу, определить, во сколько раз повысится температура газа. Процесс в газе изобарный.

Задача С7. Агрегат мощностью 50 кВт охлаждается проточной водой, текущей со скоростью 4 м/с по охватывающей агрегат трубке радиусом 5 мм. Начальная температура воды 10 °C. До какой температуры нагревается вода, если половина тепловой мощности агрегата идет на ее нагревание? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг • К).

Задача С8. Тепловой двигатель совершает круговой цикл, соответствующий графику на рис. 170. Цикл состоит из двух изохор 1-2 и 3-4, и двух адиабат 2-3 и 4-1. Найти КПД этого цикла.