Пусть в замкнутой области 
в декартовой системе координат 
задана непрерывная функция 
. Разобьем область на 
ячеек 
и возьмем точки 
(рис. 8). Составим сумму 
. Эта сумма называется интегральной суммой для функции в области .
Тройным интегралом 
от функции , распространенным на область , называется предел интегральной суммы 
при 
, если этот предел существует и не зависит от формы ячеек 
, и выбора точек 
в них, где 
— наибольший диаметр ячеек . В прямоугольных координатах элемент объема 
.
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.
Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла
В результате интегрирования по 
и подстановки пределов в фигурных скобках получится функция от 
и 
. Далее вычисляется двойной интеграл от этой функции.
Масса 
тела, занимающего область , с объемной плотностью 
, статические моменты 
и 
, координаты центра тяжести 
моменты инерции относительно осей 
, 
и 
(
, 
и 
) и начала координат 
выражаются по формулам:
Переход тройного интеграла в прямоугольных координатах в тройной интеграл в цилиндрических координатах осуществляется по формулам: 
, 
; элемент объема 
. При этом уравнения поверхностей, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к цилиндрическим координатам:
Переход тройного интеграла в прямоугольных координатах в тройной интеграл в сферических координатах осуществляется по формулам: 
элемент объема 
. При этом уравнения поверхностей, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к сферическим координатам:
Пример:
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: 
. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость 
.
Решение:
Тело, ограниченное плоскостями 
и цилиндром 
, изображено на рис. 9(a). Его проекция на плоскость является кругом с радиусом 
(рис. 9(б)). Объем тела равен
где 
— область, занимаемая данным телом; 
— ее проекция на плоскость . Линия, ограничивающая плоскую область , есть окружность . Переходя к полярным координатам , 
, найдем:
Ответ. 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Метод наименьших квадратов |
| Двойной интеграл |
| Криволинейный интеграл |
| Векторный анализ: основные понятия и пример с решением |
