Оглавление:
Наибольшее и наименьшее значение функции 
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области 
, достигает в ней наибольшего и наименьшего значения или в критических точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой ограниченной области необходимо:
- Найти критические точки лежащие внутри данной области и вычислить в них значения функции;
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
- Сравнить все полученные значения функции: самое большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Как правило, граница области разбивается на ряд участков, каждый из которых определяется уравнением вида 
или 
, 
. Вдоль такого участка границы функция 
превращается в функцию только одной переменной 
(или 
). Иногда граница области может задаваться параметрическими уравнениями: 
. В этом случае функция 
превращается вдоль границы в функцию параметра 
: 
. Поэтому задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на границе области сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной.
Пример №1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Решение:
Изобразим на координатной плоскости 
область .
Область представляет собой треугольник 
.
1) Найдем критические точки, лежащие внутри к 
.
критическая точка, лежащая внутри , причем 
.
2) Исследуем теперь значения функции на контуре треугольника.
На стороне 
:
при 
имеем 
.
Найдем критические точки
Найдем значения функции на концах отрезка :
На стороне 
:
при 
имеем 
.
Найдем критические точки
Найдем значения функции на концах отрезка :
На стороне 
:
при 
имеем 
.
Найдем критические точки
Значения функции на концах отрезка найдены ранее.
В итоге получим следующую таблицу возможных наибольших и наименьших значений функции.
Таблица 1
Из таблицы видно, что наибольшее значение 
.
Пример №2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в круге 
.
Решение:
Эту задачу можно решить аналогично первой задаче. Приведем второй способ решения. Окружность 
имеет следующие параметрические уравнения 
. Подставляя эти выражения для и в формулу , получим функцию одной переменной : 
, т.е. 
.
Находим критические точки: 
, но 
, следовательно, 
, 
. Находим значения в критических точках и на концах отрезка 
:
Следовательно, 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Условный экстремум |
| Производная в данном направлении. Градиент функции |
| Метод наименьших квадратов |
| Двойной интеграл |
