Оглавление:
Пусть, как обычно, 
— множество натуральных чисел 
. Рассматривается высказывательная функция, определенная на , то есть высказывание, зависящее от натурального числа 
. Мы пишем при этом 
.
Аксиома индукции.
Если истинны утверждения 
, то истинно и утверждение 
.
При этом истинность высказывания 
называется базой индукции, а истинность импликации 
— индукционным переходом.
Пример 1.
Доказать, что для любого 
справедливо равенство
Решение:
Обозначим утверждение, которое выписано выше в условии примера, через 
. Заметим, что состоит в том, что 
. 
имеет такой вид: 
. 
имеет вид: 
.
Непосредственным подсчетом показываем, что верно. Предположим теперь, что верно . Рассмотрим утверждение . Оно имеет вид
Преобразуем левую часть.
Пример 2.
Пусть 
— некоторое множество, состоящее из элементов. Тогда число всех подмножеств этого множества равно 
.
Решение:
Высказывание выглядит следующим образом: 
Число подмножеств множества, состоящего из одного элемента, равно 2
. Оно верно.
Предположим теперь, что верно высказывание , то есть верен факт, что число подмножеств множества 
из элементов равно , и рассмотрим множество 
, в котором на один элемент больше. Обозначим этот элемент через 
. Подмножествами множества являются либо подмножества 
множества , либо подмножества, в которых присутствует еще и элемент , то есть 
. Этим исчерпывается весь набор подмножеств , и, следовательно, их ровно в два раза больше, то есть 
. Индукционый переход доказан, и, следовательно, утверждение верно для любого .
Пример 3.
Пусть 
— любое вещественное число, не равное 1. Доказать, что для любого справедливо равенство
Решение:
Высказывание имеет вид 
. Оно проверяется простым перемножением. Предположим теперь, что верно высказывание . Тогда
Утверждение , таким образом, доказано.
Пример 4. (Неравенство Бернулли.)
Для любого верно высказывание
Решение:
Высказывание имеет вид 
, и оно, конечно, верно. Предположим теперь, что верно высказывание , то есть 
. Умножим это равенство на выражение 
. Получим: 
. Раскрывая скобки, получим 
. Утверждение , таким образом, доказано.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
| Курсовая работа на тему: функции |
| Курсовая работа на тему: логические функции |
| Курсовая работа на тему: элементы комбинаторики |
| Курсовая работа на тему: числовые последовательности |
