Теорема о среднем определенного интеграла
Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем: если функция 
непрерывна на интервале 
, то внутри этого интервала найдется такая точка 
, что 
.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что внутри интервала интегрирования всегда найдется такая точка 
, что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами 
и 
.
Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной у является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь — середину интервала интегрирования 
(как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:
- построить график функции на интервале ;
- провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции
были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке — два криволинейных треугольника практически одинаковы); - определить из рисунка ;
- воспользоваться теоремой о среднем.
В качестве примера вычислим простой интеграл 
:
— точное значение 
;
— для середины интервала 
получим 
и приближенное значение 
, т.е. явно неточный результат;
— построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим 
, откуда 
и приближенное значение 
. Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.
Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:
Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:
| Частные производные и дифференциалы |
| Формула трапеций |
| Применение определенного интеграла к вычислению площадей |
| Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными |
