Оглавление:
Напомним, что дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, наивысший порядок производной или дифференциалов в котором равен двум.
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка назовем уравнение вида: 
.
Например, уравнения 
— простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Подчеркнем, что в левой части простейшего дифференциального уравнения находится только 
, а в правой — выражение, содержащее только переменную 
.
Для решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка необходимо двукратное интегрирование по переменной .
Рассмотрим принцип решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка на следующем примере:
Пример №41.1.
Найдите решение дифференциального уравнения 
.
Решение:
Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала 
по формуле: 
.
или 
, где 
— константа.
Для нахождения искомой функции 
найдем интеграл от по переменной :
, или 
, где и 
— константы.
Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения .
Ответ: .
Отметим, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и .
Для простейшего дифференциального уравнения второго порядка можно рассмотреть задачу Коши (см. лекцию 38). Только в отличие от дифференциальных уравнений первого порядка, необходимо иметь два начальных условия: 
и 
. Для нахождения частного решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:
- Найти по формуле: .
- Воспользовавшись первым начальным условием (), найти значение константы и подставить его в функцию .
- Найти функцию как интеграл от по переменной .
- Воспользовавшись вторым начальным условием (), найти значение константы и подставить его в функцию . Полученная функция и будет решением исходного дифференциального уравнения.
Пример №41.2.
Найдите решение задачи Коши: 
, если при 
и 
.
Решение:
1. Найдем 
.
2. Воспользуемся первым начальным условием: при 
. Подставим эти числа в функцию 
. Поскольку 
, получим, что 
.
Подставим найденное значение в функцию 
или 
.
3. Найдем функцию : 
, или 
.
4. Воспользуемся вторым начальным условием: 
при . Подставим эти числа в функцию 
. Поскольку 
, получим: 
, или 
.
Найденное значение константы подставим в функцию : 
. Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
