Оглавление:
Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида: 
. В нем в левой части стоит функция 
, зависящая только от переменной 
, а в правой — функция 
, зависящая только от переменной 
. Такое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделенными переменными.
Для нахождения решения такого уравнения достаточно взять интеграл от обеих частей: 
.
Пример №38.4.
Найдите решение дифференциального уравнения: 
.
Решение:
Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:
. Тогда
— общее решение дифференциального уравнения .
Ответ: .
Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для решения такого уравнения необходимо:
- Если в уравнении встречается
, то представить его как 
. - Произвести разделение переменных (в одной части при
собрать выражения, содержащие только переменную ; в другой части при 
собрать выражения, содержащие только переменную ). - Почленно проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.
Пример №38.5.
Найдите решение дифференциального уравнения: 
.
Решение:
Данное уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда 
или 
.
Будем собирать множители с в левой части, с — в правой: 
.
Интегрируя обе части, получим: 
или 
— общее решение.
Ответ: .
Замечание. Иногда при нахождении решения дифференциального уравнения, каждое слагаемое которого представляет собой натуральный логарифм, в качестве константы можно выбирать 
. Такую операцию можно было бы произвести в примере 38.5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имело бы вид: 
. Применим свойства логарифма: 
или 
. Откуда можно заключить, что 
. Этот прием особенно эффективен при решении задачи Коши.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Понятие дифференциального уравнения. |
| Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. |
| Приложение дифференциальных уравнений. |
| Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка. |
