Понятие степенного ряда. Радиус и интервал сходимости

Среди функциональных рядов в математике и её приложениях особое значение имеет степенной ряд.

Функциональный ряд вида , членами которого являются степенные функции аргумента , называется степенным.

Действительные числа называют коэффициентами степенного ряда ( — действительная переменная).

По определению, степенными рядами являются следующие функциональные ряды

Рассматривают также степенной ряд в точке — степенной ряд вида где — фиксированное число. Если произвести замену , то степенной ряд в точке примет вид . Поэтому при изучении степенных рядов можно ограничиться степенными рядами вида .

У степенного ряда счет членов ведется, как правило, не с единицы, а с нуля: первый член называется нулевым, второй — первым и т.д. Для степенного ряда такой счет является естественным, так как нулевой член представляет собой произведение коэффициента на нулевую степень переменной : ; первый член — произведение коэффициента на первую степень переменной : и, вообще, -й член равен произведению коэффициента на -ую степень переменой : .

Любой степенной ряд всегда сходится в точке . Действительно, если подставим в ряд вместо , получим числовой ряд , сумма которого равна . По определению, данный числовой ряд сходится. Таким образом, всегда является точкой сходимости степенного ряда . Возникает вопрос: есть ли у степенного ряда другие точки сходимости?

Ответ на него дает теорема Н.Абеля (1802-1829) — выдающегося норвежского математика, и следствие из неё. Рассмотрим их без доказательства.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих неравенству: .

Следствие: Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству: .

Из теоремы Абеля и следствия из неё следует (рис. 35.1.), что если — точка сходимости степенного ряда , то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала степенной ряд расходится.

Радиусом сходимости степенного ряда называется неотрицательное действительное число или , удовлетворяющее условиям: при всех , для которых степенной ряд сходится; при всех , для которых , степенной ряд расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то его радиус сходимости равен 0: .

Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен .

Таким образом, у любого степенного ряда сеть радиус сходимости.

Найти радиус сходимости степенного ряда позволяет следующая теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема. Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы или , равные , то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле: .

Замечание: Если для степенного ряда , то его радиус сходимости равен ; , то его радиус сходимости равен 0: .

Обратимся к примерам нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Пример №35.2.

Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: , где . Для этого:

1. найдем коэффициент :

2. найдем коэффициент :

3. найдем отношение коэффициентов :

Таким образом, получим

Следовательно, так как , а .

Ответ: .

Пример №35.3.

Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение:

Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: , где . Для этого:

1. найдём коэффициент :

2. найдем :

Таким образом, получим .

Следовательно, по замечанию, если , то .

Ответ: .

Если — радиус сходимости степенного ряда , то множество точек , удовлетворяющих неравенству , называется интервалом сходимости I степенного ряда. Значит, если — радиус сходимости степенного ряда , то его интервал сходимости находится следующим образом: .

Так, интервалом сходимости степенного ряда , рассмотренного в примере 35.2., будет , т.к. . Интервалом сходимости степенного ряда , рассмотренного в примере 35.3., будет , т.к. (данный ряд сходится во всех точках числовой оси).

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Понятие функционального ряда.

Область сходимости степенного ряда.

Свойства степенных рядов.