Рассмотрим функцию 
, определенную в некоторой окрестности точки 
. Составим полное приращение функции в точке 
:
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
где 
и 
при 
. Сумма первых двух слагаемых в данном равенстве представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращения функции , линейная относительно 
и 
, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом 
:
Выражения 
и 
называют частными дифференциалами. Для независимых переменных 
и 
полагают 
и 
. Поэтому выражение для полного дифференциала можно переписать в виде: 
.
Геометрический смысл дифференциала связан с существованием касательной плоскости к поверхности в данной точке .
Рассмотрим без доказательства необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных в точке.
Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные 
и 
, причем 
.
Как следствие теоремы I получим формулу для вычисления полного дифференциала:
Пример №26.4.
Найдите полный дифференциал функции 
.
Решение:
По формуле 
находим сначала частные производные:
Окончательно получим: 
Ответ:
Отметим, что утверждение, обратное теореме 1, не верно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных нс следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция 
не дифференцируема в точке (0;0).
Сформируем без доказательства теорему, выражающую достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных в точке.
Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке, и ее полный дифференциал выражается формулой:
Отметим, что для функции 
одной переменной существование производной 
в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция двух переменных была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
