Оглавление:
Понятие предела функции двух действительных переменных вводится аналогично случаю функции одной переменной.
Множество всех точек 
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству 
, называется 
-окрестностью точки 
. Другими словами, -окрестность точки 
— это все внутренние точки круга с центром и радиусом (рис. 25.8).
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число 
называется пределом функции при 
и 
(или, что то же самое, при 
), если для любого 
существует 
такое, что для всех 
и 
и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство 
. Записывают:
или 
.
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому 
стремится к ( число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева).
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется -окрестность точки , что во всех ее точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа по модулю меньше, чем на 
.
Все основные свойства и теоремы о пределах, установленные в лекции 9 части 1 для функции одной действительной переменной, обобщаются и на случай функции двух действительных переменных.
Пример №25.1.
Вычислите: 
.
Решение:
Используя свойства пределов, получим:
Используя свойства пределов, получим:
Ответ: 
.
Пример №25.2.
Вычислите: 
.
Решение:
Будем приближаться к 
по прямой 
, где 
— некоторое действительное число. Тогда 
.
Функция 
в точке предела не имеет, так как при разных значениях предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).
Ответ: не существует.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
