Оглавление:
Рассмотрим функцию 
, непрерывную на отрезке 
. С помощью метода сумм (лекция 21) выводятся две важные формулы:
1. Длина дуги 
кривой 
, заданной на отрезке (рис. 23.6) при условии непрерывности 
, выражается формулой: 
.
Пример №23.3.
Найдите длину дуги линии 
от точки 
(0; 0) до точки 
(1; 1).
Решение:
Для вычисления длины дуги воспользуемся формулой: .
В качестве 
берем функцию 
(рис. 23.7). Тогда 
, и 
. Представим квадратный корень в виде степени: 
. Вычислим данный интеграла как интеграл от некоторой сложной функции: 
Ответ: .
2. Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , прямыми 
и 
(рис. 23.8), выражается формулой: 
.
Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции 
, прямыми 
, 
, 
(рис. 23.9), выражается формулой: 
.
Пример №23.4.
Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции 
, осью , прямой 
.
Решение:
Построим фигуру, ограниченную графиком функции , осью , прямой (на рис. 23.10 обозначена штриховкой). При ее вращении вокруг оси получаем тело вращения (рис. 23.10). Для вычисления его объема воспользуемся формулой: .
В нашем примере 
. Тогда 
Ответ: 
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Геометрический смысл определенного интеграла |
| Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. |
| Понятие несобственного интеграла |
| Несобственные интегралы I рода. |
