Алгоритм поиска асимптот

Для поиска асимптот можно использовать следующий алгоритм:

1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения () и проверяем следующее условие: если , то — вертикальная асимптота.

Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

• Если — число, то — горизонтальная асимптота;
• Если — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим .

• Если — число, отличное от 0, то находим . Тогда — наклонная асимптота;
• Если — бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем — их нет. Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример №16.1.

Найдите асимптоты кривой .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке : .

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота, х—>1

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: . Т.к. (число), то — горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту . Для наглядности график данной функции представлен на рис. 16.2.

Пример №16.2.

Найдите асимптоты кривой .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке : .

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: . Т.к. — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим :

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: . Итак, . Найдем по формуле: .

Получили, что . Тогда — наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: .

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту . Для наглядности график функции представлен на рис. 16.3.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Понятие асимптот

Общая схема исследования функции и построения графика

Понятие неопределенного интеграла.