Оглавление:
Прямые — самые простые линии на плоскости. Им соответствуют и самые простые уравнения — уравнения первой степени.
Прямую на плоскости можно задать несколькими способами:
Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.
Направляющим вектором прямой 
называется всякий ненулевой вектор 
, параллельный этой прямой.
Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, коллинеарных между собой.
Пусть задана точка 
, через которую проходит прямая , и её направляющий вектор (рис. 6.1).
- Выберем произвольную
. - Найдем координаты вектора
. - Запишем направляющий вектор .
- Воспользуемся условием коллинеарности векторов
и 
; их одноименные координаты должны быть пропорциональны. Поэтому уравнение прямой имеет вид:
(1) — уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .
Пример №6.2.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку 
и имеющей направляющий вектор 
.
Решение:
Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1): 
.
Задание прямой через две точки.
Пусть заданы две точки 
и 
. Через них можно провести прямую, и притом только одну. Составим уравнение прямой, проходящей через точки и .
Для этого (рис. 6.2):
- Выберем на прямой точку
. - Найдем координаты вектора
: 
- Найдем координаты направляющего вектора
- Векторы и
коллинеарны, так как лежат на одной прямой; следовательно, их координаты пропорциональны.
Искомое уравнение прямой имеет вид: 
(2) — уравнение прямой, проходящей через точки и .
Пример №6.3.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
Решение:
Подставив в формулу (2) координаты данных точек, получим искомое уравнение прямой: 
.
Ответ: : 
Задание прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.
Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор 
, перпендикулярный этой прямой.
Пусть заданы точка 
и нормальный вектор (рис.6.3).
Для составления уравнения прямой, проходящей через точку 
и имеющей нормальный вектор :
- Выберем на прямой произвольную точку
. - Найдем координаты вектора
. - Запишем координаты заданного нормального вектора
. - Воспользуемся условием перпендикулярности векторов и ; их скалярное произведение равно нулю, т.е.
.
Так как скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат, то уравнение прямой примет вид:
(3) — уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором .
Пример №6.4.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
.
Решение:
Вектор будет являться нормальным вектором данной прямой. Подставим в формулу (3) координаты точки 
и вектора , получим искомое уравнение прямой:
Ответ: 
Задание прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.
Пусть заданы точка и нормальный вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором будет иметь вид:
Разделим каждое слагаемое на 
.
, где 
— угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона 
, образованной прямой с положительным направлением оси 
(рис. 6.4):
Тогда 
(4) — уравнение прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом .
Пример №6.5.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку 
и образующей с положительным направлением оси угол 
.
Решение:
Найдём угловой коэффициент прямой: 
Подставим и координаты точки в уравнение (4):
Ответ: 
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Операции над векторами в координатах. |
| Уравнение линии на плоскости. |
| Виды уравнений прямой. |
| Угол между двумя прямыми. |
