Оглавление:
Транспонирование матриц
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается 
.
Пример №1.1.
Транспонируйте матрицу 
Решение:
Операция транспонирования матрицы 
осуществляется следующим образом: первая строка матрицы становится первым столбцом матрицы , вторая строка — вторым столбцом , т.е.
Сложение (вычитание) матриц
Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.
Суммой (разностью) матриц 
и 
называется матрица 
, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц и 
, т.е. 
Пример №1.2.
Найдите сумму и разность матриц 
и 
Решение:
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число 
называется матрица той же размерности, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы , т.е. 
Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:
Пример №1.3.
Найдите произведение матрицы 
на число 
Решение:
Умножение матриц
Матрицу можно умножать на матрицу тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Произведением матрицы размера (
) на матрицу размера (
) называется матрица 
размера (
), элементы которой равны сумме произведений элементов 
-ой строки матрицы на соответствующие элементы 
-го столбца матрицы .
Получение элемента 
можно представить в виде схемы (рис. 1.1):
Пример №1.4.
Найдите произведение матриц 
и 
Решение:
Размер матрицы 
, размер 
.
Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , следовательно, умножение возможно. При этом матрица 
будет иметь размерность 
.
Найдем элементы матрицы :
Для нахождения элемента 
находим сумму произведений элементов первой строки матрицы и первого столбца матрицы :
= ( 1 строка и 1 столбец ) = 1 • 1 + 2 • 0 + 0 • 2 = 1;
Аналогично 
= (1 строка и 2 столбец ) = 1 • 2 + 2 • 1 + 0 • 2 = 4;
= (2 строка и 1 столбец ) = 3 • 1 + 1 • 0+1 • 2 = 5;
= (2 строка и 2 столбец ) = 3 • 2 + 1 • 1 + 1 • 2 = 9.
Получили, что 
. Ответ:
Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
- В общем случае
(порядок матриц при умножении важен).
Замечание: Свойством коммутативности обладают произведения:
где 
и 
— единичная и нулевая матрицы соответственно.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Виды квадратных матриц. |
| Равенство матриц. |
| Понятие определителя матрицы. |
| Свойства определителей. |
