Оглавление:
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке 
отрезка , либо на границе отрезка, т. е. при 
или 
. Если 
, то точку следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :
1) найти критические точки функции на интервале 
;
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках 
и 
;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечания: 1. Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 
(
— наибольшее, 
— максимальное).
2. Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (
) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (
) — на другом.
Пример №25.10.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке [-2; 1].
Решение:
Находим критические точки данной функции:
при 
и при 
. Находим 
, 
, 
, 
. Итак, 
в точке 
в точке 
.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики физики, химии, экономики и других дисциплин.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.
Рассмотрим более простую задачу в примере №25.11.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Возрастание и убывание функций |
| Максимум и минимум функций |
| Выпуклость графика функции. Точки перегиба |
| Асимптоты графика функции |
