Оглавление:
Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале 
функция 
возрастает (убывает), то 
для 
.
Пусть функция возрастает на интервале . Возьмем произвольные точки 
и 
на интервале и рассмотрим отношение 
. Функция возрастает, поэтому если 
, то 
и 
; если 
, то и 
. В обоих случаях 
, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция имеет производную в точке и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
Аналогично рассматривается случай, когда функция убывает на интервале .
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси 
или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой 
) параллельны оси .
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и 
для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Пусть 
. Возьмем точки 
и 
из интервала , причем 
. Применим к отрезку 
теорему Лагранжа: 
, где 
. По условию 
. Следовательно, 
или 
, т. е. функция на интервале возрастает.
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).
Пример №25.8.
Исследовать функцию 
на возрастание и убывание.
Решение:
Функция определена на 
. Ее производная равна:
Ответ: данная функция возрастает на интервалах 
и 
; убывает на интервале (—1; 1).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Дифференциалы высших порядков |
| Теоремы о дифференцируемых функциях |
| Максимум и минимум функций |
| Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |
