Признаки существования пределов функции
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция 
при 
предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция 
заключена между двумя функциями 
и 
, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
то
Из равенств (17.6) вытекает, что для любого 
существуют две окрестности 
и 
точки 
, в одной из которых выполняется неравенство 
, т. е.
а в другой 
, т. е.
Пусть 
— меньшее из чисел и . Тогда в -окрестности точки выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства 
или 
.
Мы доказали, что
то есть 
.
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и , функция «следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при 
или при 
, то существует соответственно ее левый предел 
или ее правый предел 
.
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность 
, 
, имеет предел.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Бесконечно малые функции |
| Основные теоремы о пределах |
| Обратная функция |
| Сложная функция |
