Оглавление:
Разложение в ряд Фурье 
-Периодических функций
Теорема Дирихле
Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенства (=), т. е. условия, при которых ряд Фурье функции 
сходится и имеет своей суммой как раз функцию .
Будем рассматривать функции , имеющие период 
. Такие функции называют -периодическими.
Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.
Теорема 67.1 (Дирихле). Пусть -периодическая функция на отрезке 
удовлетворяет двум условиям:
- кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;
- кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
- В точках непрерывности функции сумма ряда
совпадает с самой функцией: 
; - В каждой точке
разрыва функции сумма ряда равна 
т. е. равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева; - В точках
и 
(на концах отрезка) сумма ряда равна
Таким образом, если функция удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы (условия Дирихле), то на отрезке имеет место разложение (66.12):
причем коэффициенты вычисляются по формулам (66.13) — (66.15). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.
Замечания.
- Если функция с периодом на отрезке
удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12), где коэффициенты вычисляются по формулам 
(Интегралы
и 
равны в силу свойства 3 периодической функции — см. п. 66.1.) - Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, по при этом разложимые в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.
Пример №67.1.
Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на отрезке формулой
Решение:
На рисунке 260 изображен график функции . Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:
интегрируем по частям: 
Аналогично находим
Исходной функции соответствует ряд Фурье
Функция непрерывна во всех внутренних точкой отрезка , поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенство 
, т. е.
В точках 
сумма ряда равна
Графики функций и показаны на рис. 260.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Ряды Тейлора и Маклорена |
| Периодические функции. Периодические процессы |
| Поверхности и линии уровня скалярного поля |
| Производная по направлению скалярного поля |
