Сходимость степенных рядов: определения, интвервалы, примеры с решением по высшей математике

Оглавление:

Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3).

Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: Сходимость степенных рядов (ряд (62.4) сходится в точке ).

Теорема Н. Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 63.1 (Абель). Если степенной ряд (62.3) сходится при Сходимость степенных рядов , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

По условию ряд Сходимость степенных рядов сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т. е. найдется такое число , что для всех Сходимость степенных рядов выполняется неравенство

Пусть Сходимость степенных рядов , тогда величина и, следовательно,

т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося ( Сходимость степенных рядов ) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (62.3) абсолютно сходящийся.

Следствие 63.1. Если ряд (62.3) расходится при Сходимость степенных рядов , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке Сходимость степенных рядов , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех , для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если Сходимость степенных рядов есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (62.3) расходится.

Интервал Сходимость степенных рядов и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде . Число называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. Сходимость степенных рядов — это такое число, что при всех , для которых , ряд (62.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рис. 259).

В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке Сходимость степенных рядов , то считаем, что . Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при Сходимость степенных рядов и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

Я и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

По признаку Даламбера ряд сходится, если Сходимость степенных рядов , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых

ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях Сходимость степенных рядов , для которых . Таким образом, для ряда (62.3) радиус абсолютной сходимости

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

Замечания.

Если , то можно убедиться, что ряд (62.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .
Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из первенства ; имеет вид .
Если степенной ряд содержит не все степени , т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.