Оглавление:
Интегральный признак Коши
Теорема 60.5. Если члены знакоположительного ряда 
могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке 
функции 
так, что 
, то:
1) если 
сходится, то сходится и ряд (59.1);
2) если расходится, то расходится также и ряд (59.1).
О сходимости несобственных интегралов см. § 40.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции 
, основанием которой служит отрезок оси 
от 
до 
(см. рис. 258).
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3], … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или
или
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т. е. 
. Поскольку 
, то с учетом неравенства (60.7) имеем: 
, т. е. 
. Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом 
), то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда 
и интегралы 
неограниченно возрастают при 
. Учитывая, что 
(см. (60.7)), получаем, что 
при . Следовательно, данный ряд (59.1) расходится.
Замечание. Вместо интеграла можно брать интеграл 
, где 
. Отбрасывание 
первых членов ряда в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
Пример №60.7.
Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение:
Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция 
удовлетворяет условиям теоремы 60.5. Находим
Значит, ряд с общим членом 
расходится.
Ряд
где 
— действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают).
Рассмотрим функцию 
. Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и 
. При 
имеем:
При 
имеем гармонический ряд 
, который расходится (второй способ: 
). Итак, ряд (60.8) сходится при 
, расходится при 
. В частности, ряд 
сходится (полезно знать).
Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Признак Даламбера |
| Радикальный признак Коши |
| Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница |
| Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов |
