Оглавление:
Линейные однородные ДУ n-го порядка
Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид
1. Если функции 
являются частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и функция 
.
2.Функции 
называются линейно независимыми на 
, если равенство 
выполняется лишь в случае, когда все числа 
; в противном случае (если хотя бы одно из чисел 
, не равно нулю) функции — линейно зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид
4. Частные решения уравнения (49.18) образуют фундаментальную систему решений на , если ни в одной тючке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. 
для всех 
.
5. Общею решение ЛОДУ (49.18) имеет вид 
, где 
— произвольные постоянные, 
— частные решения уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.
Пример №49.6.
Показать, что функции 
образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Решение:
Найдем 
:
Ясно, что для всех 
. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:
Подставив функции 
в это уравнение, получим систему из грех уравнений относительно функций 
. Решая ее, получим ЛОДУ 
; его общее решение:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
