Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача 1

Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если , a .

Решение:

Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т. е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где — есть ускорение движущегося тела, — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается. Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения или . Здесь — масса тела.

Как будет показано ниже (пример 48.5), , где . Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры и . Согласно условию задачи, имеем: и . Отсюда . Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому .

Задача 2

Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отреза любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение:

Пусть — произвольная точка кривой, уравнение которой . Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис. 212).

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: есть угловой коэффициент касательной; в точке он равен , т. е. .

Из рисунка видно, что . Но

. По условию задачи , следовательно, .

Таким образом, получаем или . Решением полученного дифференциального уравнения является функция (гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4).

Другие задачи

Можно показать, что:

• закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением , где — коэффициент пропорциональности, — масса радия в момент ;
• «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением , где — температура тела в момент времени — коэффициент пропорциональности, — температура воздуха (среды охлаждения);
• зависимость массы вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени во многих случаях описывается уравнением , где — коэффициент пропорциональности;
• «закон размножения бактерий» (зависимость массы бактерий от времени ) описывается уравнением , где ;
• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением , где — атмосферное давление воздуха на высоте , .

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Необходимые и достаточные условия экстремума

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения