Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области.
Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.
Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
Точка 
называется граничной точкой области 
, если она не принадлежит , но в любой окрестности ее лежат точки этой области (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области называется границей . Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается 
. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса 
. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координат кого угла, а примером ограниченной — 
-окрестность точки 
.
Теорема 43.1. Если функция 
непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число 
, что для всех точек 
в этой области выполняется неравенство 
; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее 
и наибольшее 
значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между и .
Теорема дается без доказательства.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Предел функции двух переменных |
| Непрерывность функции двух переменных |
| Частные производные первого порядка |
| Геометрический смысл частных производных функции двух переменных |
