Оглавление:
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая 
является графиком функции 
, где 
, а функция 
и ее производная 
непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь 
поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси 
.
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку проведем плоскость 
, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом 
(см. рис. 191). Величина поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от 
, т.е. 
и 
.
2. Дадим аргументу приращение 
. Через точку 
также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция 
получит приращение 
, изображенного на рисунке в виде «пояска».
Найдем дифференциал площади 
, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна 
, а радиусы оснований равны 
и 
. Площадь его боковой поверхности равна 
. Отбрасывая произведение 
как бесконечно малую высшего порядка, чем , получаем 
, или, так как 
, то 
.
3. Интегрируя полученное равенство на пределах от 
до 
, получаем
Если кривая задана параметрическими уравнениями 
, то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид
Пример 41.8.
Найти площадь поверхности шара радиуса 
.
Решение:
Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности 
, вокруг оси . По формуле (41.9) находим
Дополнительный пример №41.9.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Вычисление длины дуги плоской кривой |
| Вычисление объема тела |
| Работа переменной силы |
| Приближенное вычисление определенного интеграла |
